現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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44(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:45:09.93 ID:dUFtnfpO(5/14) AAS
>>40 補足

そうそう、大事な引用を抜かしていたね（＾＾
”系与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）

逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・

http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数

系与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。

まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り)

45: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:49:05.15 ID:dUFtnfpO(6/14) AAS
>>44 追加引用

よって、もっちょさんの記事によってディリクレ関数はBaire-2級関数であることが示されていますが、
至る所不連続であることと上記系は両立しないのでBaire-1級関数ではない、
すなわちディリクレ関数は一重極限表示をもたないことが証明されました。

以上

51(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:49:09.81 ID:S7p1wcDw(1/4) AAS
>>40-41 >>44 補足

(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな〜（＾＾
(引用終わり)

（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できる！
・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？

こういう問題設定なのだが・・
どなたか、ご存知ないですかね？

もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、
Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾

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