[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
41(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:31:12.55 ID:dUFtnfpO(2/14) AAS
>>40 つづき
定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する（関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる）。また、x∈Rに対し、ω(x)を
ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。
補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.
命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここでは証明を省略します。
定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す：
以下略
(引用終り)
43: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:36:29.56 ID:dUFtnfpO(4/14) AAS
>>41 補足
ああ、これ文字化けしているな〜
まあ、原文を見て下さい
51(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:49:09.81 ID:S7p1wcDw(1/4) AAS
>>40-41 >>44 補足
(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな〜（＾＾
(引用終わり)
（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できる！
・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？
こういう問題設定なのだが・・
どなたか、ご存知ないですかね？
もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、
Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.040s