[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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40(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:30:23.93 ID:dUFtnfpO(1/14) AAS
>>36 関連
いま、>>34で紹介した「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」を読み返していたが
この話自身もすごく面白いが、関連リンクがあって、それを辿ると、下記
Baire(ベール)関数 ”定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。”が
上記”開区間上リプシッツ連続定理”と似てるな〜と
証明で、(Baireのcategory定理の一種)を使うところも似てるな〜と
似てるけど、微妙に違う
ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな〜（＾＾
といま、考えているところです
（下記は、単純にコピペでアスキー表示にしたので、原文の方が圧倒的に見やすいよ）
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
Baire関数 関数f:R→RがBaire-1級関数であるとは、各n∈N毎に連続関数fn:R→Rが存在して、任意のx∈に対して
f(x)=limn→∞fn(x)
が成り立つときにいう（つまりfnがfに各点収束する）。一般に非負整数kに対してBaire-k級関数が次のように帰納的に定義される: Baire-0級関数を連続関数として定義し、Baire-(k?1)級関数までが定義されたとき、Baire-(k?1)級関数達の各点収束関数としてBaire-k級関数を定義する。これらの関数を総称してBaire関数とよぶ。
目標は次の定理を証明することです：
定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
つづく
41(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:31:12.55 ID:dUFtnfpO(2/14) AAS
>>40 つづき
定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する（関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる）。また、x∈Rに対し、ω(x)を
ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。
補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.
命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここでは証明を省略します。
定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す：
以下略
(引用終り)
44(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:45:09.93 ID:dUFtnfpO(5/14) AAS
>>40 補足
そうそう、大事な引用を抜かしていたね（＾＾
”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。
まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り)
51(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:49:09.81 ID:S7p1wcDw(1/4) AAS
>>40-41 >>44 補足
(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな〜（＾＾
(引用終わり)
（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できる！
・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？
こういう問題設定なのだが・・
どなたか、ご存知ないですかね？
もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、
Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾
67(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 21:45:11.26 ID:dUFtnfpO(11/14) AAS
>>40 補足
反例の一つの可能性は、連続関数の１回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか？
私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね〜（＾＾
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