[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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392(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 00:01:00.96 ID:UIwpFvOX(1/14) AAS
>>391 つづき
”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分 - Wikipedia
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative
(抜粋)
If f is locally Lipschitz, then f′+ is finite. If f is differentiable at t, then the Dini derivative at t is the usual derivative at t.
・On the extended reals, each of the Dini derivatives always exist; however, they may take on the values +∞ or ?∞ at times (i.e., the Dini derivatives always exist in the extended sense).
(引用終り)
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要 第39巻（2003）
(抜粋)
§2．Dini の微分係数
実関数論の教科書は国内外古新を問わずすこぶる数多に及ぶ．その中でも易しく書かれているにもかかわらず多くの話題
について相当深く扱っている次の本に注目したい，即ち， 辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．この本の第2 章中の第
7 節にDini の微分係数の題で55 頁から58 頁に亘って
一種の平均値の定理とその単調性定理への応用が述べられている．
入手し難い本でもあり， 又とにかく分り易い解説からなっているから，
ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおき
かへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．
(引用終り)
以上
395(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 00:29:32.63 ID:bIg1uYPK(1/8) AAS
>>390
B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
>>392
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。
条件Ａ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に
なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、
f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。
一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、
むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を
導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。
396(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 00:38:11.41 ID:KoD/3d/N(1) AAS
>>392
> ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
だから何やねん！！（＾＾
ってみんな心の中で叫んだはず。
スレ主は何を発見したつもりになっているのか・・・
397(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 10:13:21.61 ID:DI5Mb9wp(1/3) AAS
>>395
おっさん、正気か？
>B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
>｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね〜”」と思ったのだが・・
というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から
「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」
いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが）
（まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね〜・・・）
”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？
>>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces
下記定義に従わないといけないからね
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
(引用終わり)
>はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね
399: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 10:22:20.37 ID:DI5Mb9wp(3/3) AAS
>>392 関連
https://wikimatome.org/wiki/%E8%BE%BB%E6%AD%A3%E6%AC%A1
辻正次 ウィキまとめ このページの最終更新日時 2015年10月30日 (金) 22:51
つじまさつぐ
明治27(1894)年7月21日〜昭和35(1960)年3月6日 大正・昭和期の数学者。東京大学教授、立教大学教授。
著書に「近代関数論におけるポテンシャル論」「実変数函数論」など。
410(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 21:46:57.00 ID:UIwpFvOX(4/14) AAS
>>392 関連
ディニ微分が、いつごろ論文か判然としないが、
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918)
と、Books by U. Dini 1907?1915 などとあるので
100年以上前は確実だろう
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
Ulisse Dini
(抜粋)
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. He is known for his contribution to real analysis, partly collected in his book "Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali".[1]
Life and academic career
Dini attended the Scuola Normale Superiore in order to become a teacher. One of his professors was Enrico Betti. In 1865, a scholarship enabled him to visit Paris, where he studied under Charles Hermite as well as Joseph Bertrand, and published several papers.
In 1866, he was appointed to the University of Pisa, where he taught algebra and geodesy. In 1871, he succeeded Betti as professor for analysis and geometry. From 1888 until 1890, Dini was rettore[2] of the Pisa University, and of the Scuola Normale Superiore from 1908 until his death in 1918.
He was also active as a politician: in 1871 he was voted into the Pisa city council, and in 1880, he became a member of the Italian parliament.
Honors
He has been elected honorary member of the London Mathematical Society.[3]
Work
Research activity
Thus, by the year 1877, or seven years from the time he began, he published the treatise, since famous, entitled Foundations for the Theory of Functions of Real Variables (Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali).
つづく
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