[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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378(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:28:49.88 ID:xTe57EH6(4/4) AAS
>>373
>一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
１．それは、自明も自明。トリビア以下だろう
２．”｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”という表現は、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
３．”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”も、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
４．”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”も、寡聞にして私は初見だが、これは新鮮で面白いと思う。成り立てばだが
５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
６．そこは徹底的に追及したい。
”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”ということが、まず一般に言えないだろうと思うからだ
７．もし、ほとんどの場合に、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は低いだろう
８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
細かい数学的なコメントは、後ほど
382: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 17:18:57.81 ID:KNjgsEZn(4/4) AAS
>>378
＞５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
＞”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
バカじゃねーの。個数を可算に限定しないなら、任意の集合 A ⊂ R が被覆可能だろ。
たとえば、A が空集合でないときは、
A ⊂ ∪[a∈A] {a}
という自明な包含が成り立ち、右辺の各 {a} は内点を持たない閉集合であるから、
「集合 A は内点を持たない閉集合の和で被覆できる」ことになる。
＞８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
その心配は無用である。なぜなら、スレ主が挙げた「3」「4」の関数では「被覆できる」からだ。
また、今現在のスレ主にも完全に理解可能な、オモチャのような例も存在する。
f(x)＝0 (x∈R)
という定数関数を考えてみよ。さすがのスレ主も、B_f のことを正しく理解していようが勘違いしていようが
B_f ＝ R という等式が成り立つことには賛成するだろう。よって、R−B_f ＝ φ となる。
よって、内点を含まない閉集合 K を何でもいいから１つ取れば、φ ⊂ K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K となるので、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できているｗ
無論、この例はあまりにもオモチャであって下らない例なのだが、
「被覆できる例が１つも存在しない可能性」を考えているアホにはちょうどいい例であろう。
384: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 17:23:36.77 ID:4NvnglIe(2/2) AAS
>>378は考えて喋ってないと思う
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