[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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310(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:33:54.19 ID:eFT4s0P8(12/13) AAS
>>305
＞ここ大丈夫か？
＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
＞
＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？
限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は
「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
312(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:51:00.75 ID:eFT4s0P8(13/13) AAS
>>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。
[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、
sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1)
が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、
inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
313: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 23:06:50.73 ID:F1UbN7QE(18/18) AAS
>>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
>
> という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。
317(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/20(水) 07:22:14.95 ID:xU4ZeBje(1/8) AAS
>>310
基本的な確認だが、下記に図があるよ
この図に、同意しますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
図
リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。
(引用終り)
318(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/20(水) 07:25:20.65 ID:xU4ZeBje(2/8) AAS
>>310
>「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
基本的な確認だが、
例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（そもそも、”x の十分小さな近傍”は、（x-ε，x+ε）だろ？ x+ε＞0と取れるよ。そうすると、y=0が取れて、f(y)=f(0)=1にできるよ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
(抜粋)
距離空間における近傍
距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体
B_{r}(p)=B(p;r)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。
V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して
B_{r}(p)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
が V に含まれるときにいう。
各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。
従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。
(引用終り)
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