[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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303(21): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 21:59:23.96 ID:sQLguKoZ(4/7) AAS
>>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
（で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど）
それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
において、リプシッツ不連続の箇所が、１点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
１）もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
２）がしかし、リプシッツ不連続の１箇所が、本来１点から成る閉集合で被覆できない（ε近傍などの開集合での被覆）とすれば、この定理の適用範囲は狭い
（もし、１点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ）
３）そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
被覆が１点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
４）だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ
306: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 22:03:07.62 ID:sQLguKoZ(7/7) AAS
>>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>303-305を読んでみてね（＾＾
321(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/20(水) 09:51:12.00 ID:ptKBLDJz(1/20) AAS
>>319
>そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
当然だろ？
（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」
について（特に”< +∞”の場合）の説明文書は、ほとんどないよ
普通は
「｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< K }」（Kは有限）だよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
(抜粋)
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))/d_{X}(x_{1},x_{2}) ＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)}
を満たすときに言う。
(引用終わり)
ところで
些末だが
「（横レスだが言わせてくれ）」は、括弧（）を外して
横レスだが言わせてくれ、 又は、 横レスだが言わせてくれ！
くらいにしてくれないかな？ 括弧（）の意味（定理の当事者との関係性）をつい考えて引っかかるのでね
349(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz(19/20) AAS
>>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ）
350(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 17:24:41.06 ID:LeJ8GKPP(6/11) AAS
>>349
＞ふーん、自分独自の（>>303より）
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
＞定義しましたか？
>>281-283 で丁寧に定義済み。しかも、>>281-283 に書かれていることは、
標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
より具体的に言う。B_f を定義するのに必要なのは
limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞
という記号列の定義のみである。この記号列の中で、limsup という記号は >>281-283 で
標準的な方法によって定義済みである。残るは「 ＜＋∞ 」という記号の意味であるが、
これもまた、>>281-283 で標準的な方法によって定義済みである。
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
＞そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
＞また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、
＞その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
「わたくしスレ主は limsup という概念が理解できてないので、未だに例の証明を読めるレベルに達してません」
と言っているようにしか見えないな。まあ実際、そんなにレベルが低いなら、
きっと「読めない」だろうなとは思う。そして、そんなレベルの低い奴が
例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。
368: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 22:51:11.85 ID:dTP7CxCo(5/5) AAS
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
この程度の定義にスレ主は右往左往ｗｗ
みっともないなｗ
低レベルすぎるだけならまだしも、周りに害をふりまきすぎ。
デタラメをネットに垂れ流しすぎ。
数学板から出て行ってくれよ。
オカルト板や詩・ポエム板なら何やってもいいから、そっちでやってくれよ
349 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz
>>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） ◎
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
369(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/20(水) 23:48:51.84 ID:xU4ZeBje(7/8) AAS
>>361-362
ご苦労さん
見た。必死で検索したわけね（＾＾
おれまた、手元の書籍の書名を出すと思ってたんだが・・・（＾＾
そこには無かったと
で、リンクは全部見ました（＾＾
（>>303より）「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、あなたの手作り定義なわけだ（＾＾
よく分りました（＾＾
まあ、細かい点は、追々やりましょう
あなたは、面白いわ（＾＾
ピエロや、High level peopleより、遙かにレベル高いね（特に応答のレベルが）
時枝は終わったし、このリプシッツの方が時枝より面白いね
だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾
376(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6(2/4) AAS
>>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
つづく
414(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 21:59:16.16 ID:UIwpFvOX(7/14) AAS
>>405
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
とあるけれど、
条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
ということ
それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾
432(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 08:03:12.05 ID:lrnu6EUA(3/31) AAS
>>431 つづき
で、おっさん
（>>395）
「B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。」
だったろ？ 覚えているかい？
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
だったろ？ 和文PDFでなく、上記のおっさん紹介の”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)との対比において
おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
これは、"B_f の定義は well-defined である"を確認するためだ
（参考>>350）
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
（参考>>347）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
つづく
439(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:37:20.53 ID:lrnu6EUA(8/31) AAS
>>438 貼り直し（＾＾
>>432
キーワード： 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾
下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
つづく
444: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 11:47:06.32 ID:JRmFnvAf(4/7) AAS
>>433
> これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
> おっさん、がんばれよ（＾＾
証明は既に終わっている
スレ主が証明を読めずに難癖つけているだけという状況です
456(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 16:41:48.59 ID:ANqzVc/X(1/13) AAS
>>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？
「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」
と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。
まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ
そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
とか
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。
458(3): １３２人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 16:48:38.29 ID:ANqzVc/X(3/13) AAS
>>439
＞下記、斎藤新悟先生のテキストの
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、
「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、
A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは
「 系 1.5 よりも、"R−Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」
ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、
特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、
"R−Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。
結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、
「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。
お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、
手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、
余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。
これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。
460(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:33:45.39 ID:lrnu6EUA(19/31) AAS
>>456-459
おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？
まあ予想の範囲だよ（＾＾
「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」
それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾
469(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA(24/31) AAS
>>466
ご苦労さん（＾＾
”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾
で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、
その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
470(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:33:32.00 ID:lrnu6EUA(25/31) AAS
>>458
>＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
>
>ぜんぜん強くない。
バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、
ちょっと智恵がついてきたな〜（＾＾
えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ
D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞
D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞
（これ、f'＝-1/(x^2)より従う）
これは良いだろ？
ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない
（∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る）
従って、
f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！
同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ)
だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
そういう気がしてきたよ（＾＾
以上
472: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:52:21.97 ID:lrnu6EUA(27/31) AAS
>>471 追加の追加
子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾
”f(x)＝ x (x は有理数), −2x (x は無理数)”
この病的な不連続函数が
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
に、当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
489(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:27:26.09 ID:Q5UHveEY(2/18) AAS
>>488 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
・ディニ微分関連で
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜が、４つのディニ微分を使って
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）
つづく
501(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 15:20:25.56 ID:7MvmOIII(1/2) AAS
おっちゃんです。
>>490
>・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると
> １）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
> ２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
> ３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
> 言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
> もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
> ４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
> 「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
>>489の
>(>>303より)
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。
実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは
或る正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)−f(y)|≦K|x−y| となるとき
だから、リプシッツ連続の反例になっていない。
553(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 23:47:20.19 ID:R/y0B5bE(8/9) AAS
>>552 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
・・・「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・”
で、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで
１）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明
２）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在）
だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で
２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？
（例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか）
重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？
（例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R−Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？）
つづく
561(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 11:51:57.60 ID:oeOow6Ma(2/5) AAS
>>557
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
ちょっと質問して良いですか？
（>>303より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
１．ここで場合分けをする
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
つづく
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