[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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284(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 17:06:56.72 ID:eFT4s0P8(10/13) AAS
以上により、
R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R−B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。
「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
従って、「3」「4」の関数に対して「 R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。
取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。
285(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 17:26:39.96 ID:GAsyQrs5(11/11) AAS
>>284
素晴らしい解説ありがとう（＾＾
すぐには理解できないので、それはじっくり読むよ
ところで、本当に標準テキストにそれはないのか？ 自分で検索した範囲では見つからず。
リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
もし、初出なら勿体ないよ
293: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 18:55:42.03 ID:eFT4s0P8(11/13) AAS
>>285
＞リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。
そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。
質問：limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つ x が、１点で被覆できるか、
それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
回答：そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜, y∈(x−ε, x＋ε)
という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x−ε, x＋ε) 」の方が主体になってしまい、
「 開区間 (x−ε, x＋ε) は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
とか
「 開区間 (x−ε, x＋ε) の中を動き回る y の全体は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。
303(21): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 21:59:23.96 ID:sQLguKoZ(4/7) AAS
>>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
（で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど）
それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
において、リプシッツ不連続の箇所が、１点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
１）もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
２）がしかし、リプシッツ不連続の１箇所が、本来１点から成る閉集合で被覆できない（ε近傍などの開集合での被覆）とすれば、この定理の適用範囲は狭い
（もし、１点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ）
３）そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
被覆が１点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
４）だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ
305(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 22:01:35.98 ID:sQLguKoZ(6/7) AAS
>>284
"「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。"
ここ大丈夫か？
「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？
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