[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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281(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:48:15.00 ID:eFT4s0P8(7/13) AAS
[ 解説１, limsup の定義 ]
g：R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に２つある。
１つ目の定義の仕方：
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ＞0 に対して
{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} ⊂ X
が成り立つので、X の中に sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、
limsup[y→x] g(y)：＝ inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} (右辺は X の中で定まる値)
と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。
２つ目の定義の仕方：
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が δ＞0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)＝＋∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)＝−∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。
293: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 18:55:42.03 ID:eFT4s0P8(11/13) AAS
>>285
＞リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。
そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。
質問：limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つ x が、１点で被覆できるか、
それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
回答：そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜, y∈(x−ε, x＋ε)
という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x−ε, x＋ε) 」の方が主体になってしまい、
「 開区間 (x−ε, x＋ε) は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
とか
「 開区間 (x−ε, x＋ε) の中を動き回る y の全体は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。
350(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 17:24:41.06 ID:LeJ8GKPP(6/11) AAS
>>349
＞ふーん、自分独自の（>>303より）
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
＞定義しましたか？
>>281-283 で丁寧に定義済み。しかも、>>281-283 に書かれていることは、
標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
より具体的に言う。B_f を定義するのに必要なのは
limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞
という記号列の定義のみである。この記号列の中で、limsup という記号は >>281-283 で
標準的な方法によって定義済みである。残るは「 ＜＋∞ 」という記号の意味であるが、
これもまた、>>281-283 で標準的な方法によって定義済みである。
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
＞そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
＞また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、
＞その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
「わたくしスレ主は limsup という概念が理解できてないので、未だに例の証明を読めるレベルに達してません」
と言っているようにしか見えないな。まあ実際、そんなにレベルが低いなら、
きっと「読めない」だろうなとは思う。そして、そんなレベルの低い奴が
例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。
352(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 17:57:39.17 ID:LeJ8GKPP(7/11) AAS
>>351
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
何で書名が必要なの？
いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？
そのくらいの記述は、標準的なテキストでいくらでも見たことがあるでしょ？
スレ主が自分で勉強してきたテキストを見返せば済む話でしょ？
>>281-283 で書いたことは、スレ主が勉強してきたことの復習用だよ？
まさか、その程度の基礎的な内容すら全く勉強したことが無くて、
「俺は >>281-283 の定義なんぞ全く見たことが無いぞ！一体どんなテキストに載ってるんだ！」
などと憤慨しているのかね？
そんなに何も知らないド素人の状態で、お前は今まで例の定理にイチャモンをつけていたのか？
そんなゴミクズに、例の定理にイチャモンをつける権利は全くないよ。
しかも、標準的なテキストに載ってる内容は >>281-283 と全く同じだよ？
つまり、拡大実数の中で limsup を定義する、という定義だよ？
拡大実数を使った時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は拡大実数の中での普通の不等式を
意味するんだから、その時点で完全に well-defined に意味は定まってるよ？
スレ主はどうしても「 ＜＋∞ 」という記号列に不満を持っているようだけど、
その記号列は拡大実数の中における普通の不等式なんだから、完全に well-defined に意味は定まってるよ？
これ以上なんの説明が必要なの？お前がバカだから理解できないだけだろ？
381: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 16:53:58.08 ID:KNjgsEZn(3/4) AAS
>>377
＞７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり
＞ （f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
ここでの「 ＜＋∞ 」は拡大実数の中での通常の不等式の意味だと >>281-283 で既に書いている。
「 K→∞の極限 」がスレ主にとって何を意味するのは定かではないが、もしそれが
拡大実数の中での通常の不等式とは ぜんぜん違う意味ならば、
「わたくしスレ主は "＜＋∞" の意味を自分勝手に変更して話をしています」
というコミュニケーション不全に陥っていることになるので問題外である。
また、B_f の対象となっているのは
・ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞
という条件であって、
・ limsup が無く、x,y の範囲も明記されてない状態の " ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ "
という条件を B_f で考えているわけではない。
……このように、スレ主は ちょっと目を離した隙に もともとの B_f からは
かけ離れた条件で考えようとしてしまい、ゆえに間違いを連発するのである。
機械的に limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ を計算するだけで終わる話なのに、
お前は一体なにをやっているのだ。
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