[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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224(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/18(月) 16:06:30.26 ID:inCE+Hfv(1/7) AAS
>>220
ぜんぜん自己解決してない。論理が滅茶苦茶。
おそらくスレ主は、「内点」がどういう概念なのか全く理解していない。
なので、先に「内点」の定義から始める。位相空間で定義するのが一般的だが、
スレ主のレベルの低さに合わせて、距離空間でのみ定義する。
定義：(開球の定義)
(X, d) を距離空間とする。x∈X を中心とする半径 r の開球を B_r(x) と書くことにする。
すなわち、B_r(x)：＝{ y∈X｜d(x,y)＜r } である。
定義：(内点の定義)
(X, d) を距離空間とする。A⊂X とする。点 x∈A が集合 A の内点であるとは、B_r(x)⊂A なる r＞0 が
存在するときを言う。特に X＝R の場合を考えると、集合 A⊂R と x∈A について、
「点 x∈A が集合 A の内点であるのは、x∈(a,b)⊂A なる開区間 (a,b) が存在するとき、かつそのときに限る」
ことが確認できる(距離空間に関する初等的な演習問題である)。
補足：
上記の定義により、「内点」という概念は集合 A とセットで定義される概念であることが分かる。
つまり、集合 A を指定せずに「内点」とだけ書いても意味が定まらない。
必ず、「集合 A の内点」という形で、集合 A とセットで用いられる。
従って、同一の点 x が、ある集合 A においては内点になり、別の集合 B においては内点にならないという事態が
容易に起こる。たとえば、点 0 ∈ R は集合 { y∈R｜−1＜y＜1 } の内点であるが、しかし集合 {0} の内点ではない。
245(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/18(月) 23:29:24.84 ID:nRvm/kYL(6/8) AAS
>>224
いや、講義はありがたいが、下記
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
で、話は通常の実数Rで、f : R → Rは、不連続を許す、１変数一価関数でだと。
そこに、通常のいわゆる自然な（アルキメデス）距離を、入れる。
１次元のユークリッド空間と、(x,y)で２次元までで可だと
だから、難しい位相はちょっと置いておいて
”内点を持たない閉集合”とは、「ある１点から成る集合」と簡単に書けば良いのでは？
それから、”Bf :={x ∈ R・・”なのだから、これは１次元の話で、R−Bf も同様に１次元の話
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
違ったらそう言ってくれ
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