[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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141(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 21:30:49.65 ID:/2xvBEHK(42/58) AAS
>>140
>位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは，A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9
孤立点
(抜粋)
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点（こりつてん、英: isolated point）であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、x が S の孤立点であるとは、x を中心とする開球体のうち x 以外の S の点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点 x ∈ S が S において孤立するための必要十分な条件は、x が S の集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。
一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
つづく
142: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 21:31:27.99 ID:/2xvBEHK(43/58) AAS
>>141 つづき
直観に反する例
実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。
・xi = 0 または xi = 1 の何れかが成り立つ。
・xi = 1 となる添字 i は有限個しかない。
・m が xm = 1 なる最大の添字ならば xm?1 = 0 が成り立つ。
・xi = 1 かつ i < m ならば xi?1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一で成り立つ。
これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。
さて F は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である[1]一方で、F はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ[2]。
同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。
[1][2] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9#CITEREFGomez-Ramirez_2007
Gomez-Ramirez, Danny (2007), “An explicit set of isolated points in R with uncountable closure”, Matematicas: Ensenanza universitaria (Escuela Regional de Matematicas. Universidad del Valle, Colombia) 15: 145?147
(引用終り)
以上
143(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 21:37:38.71 ID:/2xvBEHK(44/58) AAS
>>141 補足
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”
これは、常識として覚えておかねば（＾＾
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
「可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）」
か
意味分らん。Qに距離を導入すると、離散的でない集合になるのかな・・（＾＾
>孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
なるほど（＾＾
246(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/18(月) 23:30:33.01 ID:nRvm/kYL(7/8) AAS
>>225
>大間違い。カントール集合は内点を持たない。
ああ、そうかも。まあ、”カントール集合は内点を持たない”は、
「孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。」（>>141）
から即断して例示したが、カントール集合は離散集合ではないのか？
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