現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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98: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/16(土) 13:28:10.27 ID:/2xvBEHK

>>97 つづき

６．で、”可算無限”は本質だな
　　例えば、>>81 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
　　" In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
　　(Each co-meager set has c points in every interval.)"
　　ここで、”on a co-meager set”は、dense（稠密）。（∵ 最初の仮定 ”each dense in the reals”だから）
　　co-meagerは、非可算濃度（∵ >>72より 「残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。」
　　「X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。」）
　　（なお>>35 "** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)" も補足しておく。）
７．つまり、かの定理1.7は、ちょうど「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」という主張に等価
　　（「”非可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）可能」であるにも拘わらず）

で、私スレ主が、疑問に思うのは、「本当に、それ成り立つのか？」ということ
それを、いま調べているのだ

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/98

127: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/16(土) 16:21:46.09 ID:/2xvBEHK

>>97-98
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論＞

１．>>110 "Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals."
　　　↓
　　”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
　　(Each co-meager set has c points in every interval.)”
　　なので、”continuous and discontinuous”＆”each dense”は、本質で、これを、”リプシッツ連続とリプシッツ"不"連続”＆”each dense”に緩めることはできない
２．その理由は、”continuous and discontinuous”＆”each dense”の絡みで、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set."
　　が出るのであって、リプシッツ"不"連続に緩めたら、”a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition”は言えないだろうということ
　　（１と同じことの言い換えみたいだが・・、うまく書けないね（＾＾ ）
３．あと、まだ分らないのが、無理数と有理数に限定した、ruler-like functionsや下記の変形トマエ関数などで、関数の減衰で、無理数での微分可能点が増減するメカニズム
４．あと、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }と置く:
　　もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
　　で、R上R−Bfが稠密になる関数が、反例として本当に構成できるかどうか？（可能と思うが・・）
　（R−Bfは、リプシッツ"不"連続であって、通常の不連続とは違うという理解なのだが、それで良いかどうかも、そこがいまいち分らんが・・（＾＾ ）

まあ、もう少し調べるか（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/127

155: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/16(土) 23:46:40.92 ID:/2xvBEHK

>>127
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論（修正版）＞

１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．

よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }","R−Bf"において
「< +∞」の解釈が問題となる

２．"R−Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
　「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」は、つまり変形トマエ関数などの有理点での不連続点で、それは”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ”とできる。
　（繰返すが、この場合、上記定義のリプシッツ”不”連続は、実質通常の不連続点と解することができる。）

３．そうすると、>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
　が適用できて
　co-meager setは、リウヴィル数全体からなる集合と同様で、”非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 ”となる
　この場合、実数内で稠密であるから、”リプシッツ連続である区間(a, b) を取ること”はできない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
定義

実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/155

220: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/18(月) 08:00:38.68 ID:nRvm/kYL

>>206
自己解決しました

１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
２．さて、結論から言えば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
３．それを説明するために、まず階段函数を考える
　　x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
　　一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続
４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
　　（これは、いま問題にしている変形トマエ関数の不連続点の簡単なモデルでもある）
　　階段函数同様、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
　　しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
　　（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
　　この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合
　　（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/220

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