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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/
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501: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 15:20:25.56 ID:7MvmOIII おっちゃんです。 >>490 >・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると > １）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明 > ２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明 > ３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。 > 言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、 > もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。 > ４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は > 「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない） >>489の >(>>303より) >”定理1.7 (422 に書いた定理) >f : R → R とする． の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。 実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは 或る正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)−f(y)|≦K|x−y| となるとき だから、リプシッツ連続の反例になっていない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/501
502: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 15:24:36.25 ID:7MvmOIII >>490 >>501の下から2行目の訂正： 或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/502
513: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:53:33.96 ID:Q5UHveEY >>501-502 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね で、これは、R上で稠密であってはならない なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う だから、もし、補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ （参考） （>>490） 証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ） 系1.8の証明で 「定理1.7 のBf について, R − Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf が成り立つので, R − Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p} (1) である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開 区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/513
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