現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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497: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/24(日) 10:33:54.26 ID:Q5UHveEY

>>496 つづき

で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると

[15] Gerald Arthur Heuer先生

THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]

THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.

かな？

特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと

だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている

では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？

[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！

これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う

まあ、年末は忙しい

ゆっくりやりましょう（＾＾

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/497

506: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/24(日) 20:59:06.39 ID:Q5UHveEY

>>497 関連

無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という
函数の構成があったので、貼っておく（＾＾

http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples
(抜粋)
We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q.

As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here.
http://www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative
Recall f main properties:
略
This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp.
Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)−up(x) is differentiable at a.
As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a.
finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a.

Conclusion:
the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/506

540: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp

さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している

＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.

についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、

「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」

と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、

A ⊂ R−B_g

が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。

特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ

そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/540

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