[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/

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470: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:33:32.00 ID:lrnu6EUA >>458 >＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ > >ぜんぜん強くない。 バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、 ちょっと智恵がついてきたな〜（＾＾ えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞ D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞ （これ、f'＝-1/(x^2)より従う） これは良いだろ？ ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない （∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る） 従って、 f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数） Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！ 正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！ 同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ) だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾ そういう気がしてきたよ（＾＾ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/470

473: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X >>469 ＞その不連続函数は 俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に (0, ＋∞) ⊂ R−B_f が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。 >>470 ＞従って、 ＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数） ＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } ＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！ 息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。 そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく f：R−{0} → R￣ なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣ という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、 ・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2 ・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2 が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。 {0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/473

474: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:01:03.36 ID:ANqzVc/X >>470 ＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾ 全くレアではない。>>459 を読み直せ。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 定理２： f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 ) ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、 R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、 例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。 ・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、特に R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。 (丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により 　R−B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。 さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を 何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R−B_f は例の被覆が「できる」。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/474

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