[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/

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439: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:37:20.53 ID:lrnu6EUA >>438 貼り直し（＾＾ >>432 キーワード： 微分 dini OR ディニ で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾ 下記、斎藤新悟先生のテキストの ”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾ これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ おっさん、がんばれよ（＾＾ http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf 典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院 (抜粋) 1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理 x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお ける Dini 微分を主に考える． Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である： 定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理） f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成 立する： (1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能． (2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞． (3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞． (4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞． 注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が 任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照． Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述 べる． 系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である． 証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも 成立しないことから系が従う． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/439

440: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:38:47.38 ID:lrnu6EUA >>439 つづき http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html 研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 (抜粋) 36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］ 実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集 (引用終り) http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/ 斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！ 九州大学基幹教育院准教授。 1981年大阪府生まれ。 東京大学理学部数学科卒業。 University College London, Department of Mathematics博士課程修了。 PhD in Mathematics, University of London. 九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。 } http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/440

441: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:00:06.42 ID:lrnu6EUA >>439 追加 （余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ） http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html 微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス (抜粋) 定義 （ ディニ導関数 ） ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。 次のように定義する。 略 これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。 参考 ディニ導関数は可測であることが知られている。 Ｐ１５ ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。 ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。 このとき、ｆ は定値関数である。 http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html ルベーグ積分インデックス 理系インデックス 第３章（Ｐ）　追加事項 微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ http://rikei-index.blue.coocan.jp/index.html 理系インデックス 理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。 ２０１０年１月ＯＰＥN ※　管理人 ツエ＆トキ （化学科） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/441

443: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:32:41.73 ID:lrnu6EUA >>439 追加 下記では”Diniの導来数” http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430 (抜粋) 「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。 僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。 ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。 数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。） そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。 より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。 「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048 ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。 ときわ台学：ルベーグ積分入門 （とてもわかりやすいので、特にお勧め。） http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦 http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました 目次 第６章：微分法と積分法 - Diniの導来数 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/443

446: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:54:18.30 ID:lrnu6EUA >>439 ”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・ おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾ （引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700 (抜粋) P696 特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター 連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続 でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0 そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合 上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物 理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続 で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能 な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は 公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､ 神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系 の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を 2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連 続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている (Tsuda,1996) (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/446

458: １３２人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 16:48:38.29 ID:ANqzVc/X >>439 ＞下記、斎藤新悟先生のテキストの ＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” ＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾ ＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、 「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、 A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは 「 系 1.5 よりも、"R−Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」 ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、 特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、 ・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、 "R−Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。 結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、 「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。 お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、 手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、 余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。 これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/458

481: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 21:36:28.73 ID:lrnu6EUA >>479-480 了解 話は飛ぶが 昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき １．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある） ２．（あるいは）素人の勘違い このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが） で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね 一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ 上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが） そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾ まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾ まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/481

485: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 22:30:30.64 ID:ANqzVc/X >>481 ＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、 ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は 「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」 という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、 ・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が 言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。 >>483 ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。 我々が文献を見つけてないだけ。 strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理 で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。 息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/485

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