現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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342: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 16:15:45.24 ID:LeJ8GKPP

あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。
まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、
limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。
で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。

が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として

・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。

が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの

・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。

も成り立ち、そして上に書いた事実により

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。

が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。
このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、
とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/342

347: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/20(水) 16:38:57.15 ID:ptKBLDJz

>>341-342
ご苦労さん
どうも、友達がいないみたいだな

かまってもらえるのは、ここ５CHだけかい？
あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ

ところで、定義には、”well difined”というのがあってね
下記は、以前にも紹介したが、”当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく”とある

まあ、いま職場だから、また考えてレスするよ（＾＾

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
　高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも
意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんと
なく使っていた覚えがある。

「ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も矛盾なく上手くいく」ということ
が確認されているということを「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」という。今回、次の書籍：

土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）

を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。

（コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
　　　　　　は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？

（参考文献：横田一郎　著　群論入門　（現代数学社）
　　　　　　　 土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）)
(引用終わり)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/reminder.htm
私の備忘録

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/347

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