現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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312: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:51:00.75 ID:eFT4s0P8

>>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。

を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。

[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、

sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0　… (1)

が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、

inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0

が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。

[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/312

342: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 16:15:45.24 ID:LeJ8GKPP

あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。
まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、
limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。
で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に

が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として

・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。

が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの

・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。

も成り立ち、そして上に書いた事実により

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。

が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。
このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、
とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/342

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