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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/
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305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 22:01:35.98 ID:sQLguKoZ >>284 "「3」の関数の場合： ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。 「4」の関数の場合： ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。" ここ大丈夫か？ 「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？ 「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？ ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/305
306: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/19(火) 22:03:07.62 ID:sQLguKoZ >>301 BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。 レスありがとう >>303-305を読んでみてね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/306
310: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:33:54.19 ID:eFT4s0P8 >>305 ＞ここ大丈夫か？ ＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？ ＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？ ＞ ＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？ 限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は 「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」 という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。 そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、 この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。 ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、 ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/310
312: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:51:00.75 ID:eFT4s0P8 >>305 ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、 俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。 なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。 [ x＜0 の場合 ] x＜0 なる x を任意に取る。このとき、 sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1) が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、 y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。 よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、 inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0 が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。 [x＞0 の場合] x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0 が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/312
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