[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/

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23: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/14(木) 18:22:52.76 ID:JQcHE8p2 おっちゃんです。 もっと簡単に ε-δ で示せそうですな。 [第１段]：区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在するとする。 Iの有理数aを任意に取る。実関数 f(x) は x＝a で不連続だから、或るεが存在して、εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、 |a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの点bが存在する。 S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) } とおく。 すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、(S_1)∩(S_2)≠Φ。 有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/23

26: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/14(木) 18:34:04.65 ID:oVKNFyGV >>23-24 おっちゃん、どうも、スレ主です。 いつも、レスありがとう（＾＾ 注文つけて悪いが 証明しようとしている命題も書いてほしい。よろしくね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/26

49: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:44:46.31 ID:8RLwNZRE おっちゃんです。 >>23-25、>>27は取り消し。 最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。 Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、 任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、 連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。 このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。 証明)　[第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が 存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して 正の実数 δ(ε) が定まって、|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。 S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) }　とおく。すると、 区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理点cが存在し、 (S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/49

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