現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

155: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/16(土) 23:46:40.92 ID:/2xvBEHK

>>127
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論（修正版）＞

１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．

よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }","R−Bf"において
「< +∞」の解釈が問題となる

２．"R−Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
　「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」は、つまり変形トマエ関数などの有理点での不連続点で、それは”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ”とできる。
　（繰返すが、この場合、上記定義のリプシッツ”不”連続は、実質通常の不連続点と解することができる。）

３．そうすると、>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
　が適用できて
　co-meager setは、リウヴィル数全体からなる集合と同様で、”非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 ”となる
　この場合、実数内で稠密であるから、”リプシッツ連続である区間(a, b) を取ること”はできない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
定義

実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/155

166: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/17(日) 07:48:44.34 ID:uVIGteN6

>>165
どうも。スレ主です。
回答ありがとう

一晩考えたが、「その定理は正しいし、素晴らしいかも知れない」という考えに変わった（＾＾
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、”（>>155より）

ここで、
１）Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
かつ
２）R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる

の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
（∵Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< K } でKはある有限値に留まる（通常のリプシッツ連続）とすると、
　”R−Bf は内点を持たない閉集合では、被覆できない”（広がりを持つ）がおそらく言えて、「< +∞」の場合は結局それは通常の「不連続点」だと）

とすると、>>155に書いた通り、そのような「不連続点」が可算無限個、R中に稠密に分散されている場合、
>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて、そういう場合は実は、非可算無限個必要かあるいは内点を持つので、排除されている。

で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
（>>110 の”THEOREM”みたいな大定理を適用出来るとするのも、これもまた大事だと思うが）

この定理が成り立たないと思って、ご無礼な物言いがあったかも知れないが、お詫びします ｍ（＿ ＿）ｍ
あとは、”上記１）と２）の組み合わせだと、それは実は「不連続点」”が、確かかどうかだな。そこは、もう少し掘り下げて考えてみるよ

証明の成否？　それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/166

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.036s