現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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151: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/16(土) 23:06:51.65 ID:/2xvBEHK

>>143
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”

リウヴィル数は、「リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である」から、”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ではない”ことになるのか・・。なるほど・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
リウヴィル数（リウヴィルすう、Liouville number）とは、以下の定義を満たす実数 α のことである：任意の正整数 n に対して、

0<｜α − p／q｜< 1／q^n
を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。

例えば、

l=Σ _{k=1}〜{∞ }10^{−k!}=0.110001 000000 000000 000001 000000 000000 000000 ・・・
はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、 ・・・ ・・・)。

有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ? 1 が ak + 1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、

Σ _{k=1}〜{∞ }α ^{a_{k}
はリウヴィル数である。

性質
・リウヴィル数は超越数である（リウヴィルの定理）。
・リウヴィル数はマーラーの分類で U 数に属する。
・0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/151

526: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/25(月) 07:58:39.31 ID:R/y0B5bE

>>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ

なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾

でな、下記

リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ

つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？

(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;

(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/526

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