[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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375(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6(1/4) AAS
>>372
オハヨー、朝です。
(^o^)
>で？w
この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾
「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ
例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
376(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6(2/4) AAS
>>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
つづく
377(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:23:49.10 ID:xTe57EH6(3/4) AAS
>> つづき
６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから
仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ
７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり
（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
定理を理解する上での数学的プロセスとして、それは否定すべきではないだろう
（参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続）
以上
378(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 10:28:49.88 ID:xTe57EH6(4/4) AAS
>>373
>一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
１．それは、自明も自明。トリビア以下だろう
２．”｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”という表現は、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
３．”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”も、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
４．”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”も、寡聞にして私は初見だが、これは新鮮で面白いと思う。成り立てばだが
５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
６．そこは徹底的に追及したい。
”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”ということが、まず一般に言えないだろうと思うからだ
７．もし、ほとんどの場合に、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は低いだろう
８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
細かい数学的なコメントは、後ほど
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