[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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430(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 08:01:19.70 ID:lrnu6EUA(1/31) AAS
>>424
後出し後出し
おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
>「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
おれの>>416 東京理科大学 加藤 圭一先生 積分論２”第１回 直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．”
との関係を疑われるジャストのタイミングで書くとは・・
つづく
431(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 08:02:29.01 ID:lrnu6EUA(2/31) AAS
>>430 つづき
ディニ微分については、おっさんの紹介した”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)にもあって下記
（>>390-391）
(抜粋)
”5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Similarly, if c ∈ (a, b] we define
(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.”
(引用終り)
ここにある、自分の定理と類似の記述があると、それ書けば、”ウソ”って言われなくてすんだろうに（＾＾
つづく
432(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 08:03:12.05 ID:lrnu6EUA(3/31) AAS
>>431 つづき
で、おっさん
（>>395）
「B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。」
だったろ？ 覚えているかい？
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
だったろ？ 和文PDFでなく、上記のおっさん紹介の”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)との対比において
おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
これは、"B_f の定義は well-defined である"を確認するためだ
（参考>>350）
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
（参考>>347）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
つづく
433(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 08:04:09.71 ID:lrnu6EUA(4/31) AAS
>>432 つづき
（参考>>376）
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
以上
434(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 09:56:32.07 ID:lrnu6EUA(5/31) AAS
突然ですが、思い出したので貼る（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC
リチャード・セイラー
(抜粋)
リチャード・H・セイラー（Richard H. Thaler, 1945年9月12日 - ）は、アメリカ合衆国の経済学者。シカゴ大学教授。専門は、行動経済学。
行動科学の理論家として国際的な研究業績を持ち、ダニエル・カーネマンらと協働し研究を牽引してきた。
相田みつをのファン[1]。
2017年ノーベル経済学賞受賞。
(引用終り)
https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4066/
家でも会社でも使えるノーベル賞理論！ 最新経済学の魔法 クローズアップ現代＋ NHK 2017年11月20日(月)
(抜粋)
「つまづいたっていいじゃないか、にんげんだもの」。今年、ノーベル経済学賞を受賞したリチャード・セイラー教授（行動経済学）は相田みつをファン。衝動買い、飲み過ぎ、ギャンブル…分かっちゃいるけどやめられない、だって「にんげんだもの」。
でも、こうした人間心理を逆手にとれば、より良い選択をするように誘導できる。セイラー教授が“ナッジ”と名付けたこうした仕掛けを紹介。 うまく応用すれば家でも会社でも、人生はうまく行く！？
出演者
リチャード・セイラーさん （シカゴ大学教授）
大竹 文雄さん （大阪大学教授）
武田真一・田中泉 （キャスター）
日本の「相田みつを」？
経済学者 リチャード・セイラー教授
「『つまづいたっていいじゃないか にんげんだもの』。私はこの言葉が大好きなんだよ！」
ノーベル賞理論の原点
田中
「相田みつをのファンだそうですね。」
リチャード・セイラー教授
「２００９年に東京に行ったときに、たまたま相田みつを美術館に行ったんだよ。それですっかり魅了されてしまったのさ。
私は研究室のドアに、相田みつをの詩を貼り付けているんだよ。『そのうち そのうち べんかいしながら日がくれる』。いつまでもなまけている場合じゃないっていう、自分への戒めのためにね。」
田中
「著書の中でも、ご自身をなまけ者だとおっしゃっていますね。」
つづく
435: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 09:57:09.43 ID:lrnu6EUA(6/31) AAS
>>434 つづき
リチャード・セイラー教授
「そうなんだよ、若い頃はついついなまけてしまう自分を律するために、ずいぶん苦労したもんだよ。」
セイラーさんは、相田みつをのファンというだけでなく、その言葉が研究テーマそのものになっているといいます。
リチャード・セイラー教授
「相田みつをの『にんげんだもの』という言葉。それはまさに、私が４０年かけて研究してきたことでもあるんだ。学生の頃、経済学の論文をたくさん読んだけれど、そこに書かれている人間は現実に存在している人間とはかけ離れている気がしたんだ。それで私は、それまで経済学者が無視してきた人間のおかしな行動を調べることにしたんだ。」
(引用終り)
以上
438(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:35:19.76 ID:lrnu6EUA(7/31) AAS
おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
つづく
439(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:37:20.53 ID:lrnu6EUA(8/31) AAS
>>438 貼り直し（＾＾
>>432
キーワード： 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾
下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
つづく
440: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 10:38:47.38 ID:lrnu6EUA(9/31) AAS
>>439 つづき
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！
九州大学基幹教育院准教授。
1981年大阪府生まれ。
東京大学理学部数学科卒業。
University College London, Department of Mathematics博士課程修了。
PhD in Mathematics, University of London.
九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。
}
441(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:00:06.42 ID:lrnu6EUA(10/31) AAS
>>439
追加
（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html
微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ディニ導関数 ）
ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。
次のように定義する。
略
これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。
参考
ディニ導関数は可測であることが知られている。
Ｐ１５
ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。
ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。
このとき、ｆ は定値関数である。
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
ルベーグ積分インデックス 理系インデックス
第３章（Ｐ） 追加事項
微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ
http://rikei-index.blue.coocan.jp/index.html
理系インデックス
理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。
２０１０年１月ＯＰＥN
※ 管理人 ツエ＆トキ （化学科）
442: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:03:39.21 ID:lrnu6EUA(11/31) AAS
>>441 関連
>（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
言いたいことは、下記かな
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14161354049
yahoo 知恵袋
aguilder729さん2016/7/702:04:46
ルベーグ可測関数のディニ微分はまたルベーグ可測となりますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
usagioqさん 2016/7/918:33:56
なります
一般的に可測関数の limsup などは可測です
443: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:32:41.73 ID:lrnu6EUA(12/31) AAS
>>439 追加
下記では”Diniの導来数”
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f
ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430
(抜粋)
「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。
僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。
ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。
数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。）
そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。
より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。
「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048
ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。
ときわ台学：ルベーグ積分入門
（とてもわかりやすいので、特にお勧め。）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html
ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf
ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました
目次
第６章：微分法と積分法
- Diniの導来数
(引用終り)
446: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:54:18.30 ID:lrnu6EUA(13/31) AAS
>>439
”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾
（引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので）
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf
カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700
(抜粋)
P696
特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター
連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ
トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続
でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0
そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合
上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物
理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続
で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能
な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson
andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は
公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､
神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー
ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー
ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア
トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系
の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を
2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連
続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている
(Tsuda,1996)
(引用終り)
450(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 13:23:13.58 ID:lrnu6EUA(14/31) AAS
￥さんのダチの山上 滋先生より下記
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
(抜粋)
とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない
というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので
しょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ
やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ
とでしょうか。
いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、
「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの
で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ
る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。
一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・
Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高
まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として
の積分の定義も含まれています。
さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ
た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対
象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま
せん。
つづく
451(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 13:23:46.44 ID:lrnu6EUA(15/31) AAS
>>450 つづき
現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論
が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進
歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確
率論の専門家の手になるものが多いように思われます。
翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の
段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき
る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ
た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導
入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの
下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気
もしますが、しばらくお付き合いください。
参考書をいくつか挙げておきます。
つづく
452: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 13:24:49.44 ID:lrnu6EUA(16/31) AAS
>>451 つづき
11 Postscript
もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく
も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな
く、敢えて距離空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成
に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。
上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ
る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで
ある。
しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう
いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え
て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明
を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では
ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数
学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。
(引用終り)
以上
（参考）
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html
講義ノート 山上 滋
授業のために用意したノートです。
学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。
・ルべーグ積分
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/
Shigeru's Scratchy Shelf
This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru
under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University.
Last modified: 2009/10/05
453: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 13:26:03.77 ID:lrnu6EUA(17/31) AAS
>>447-448
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
454: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 13:28:47.48 ID:lrnu6EUA(18/31) AAS
>>450
>http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
>ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾
460(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:33:45.39 ID:lrnu6EUA(19/31) AAS
>>456-459
おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？
まあ予想の範囲だよ（＾＾
「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」
それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾
461(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:35:37.40 ID:lrnu6EUA(20/31) AAS
おれ的には、最初から
定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
ってことさ（＾＾
462(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:39:45.15 ID:lrnu6EUA(21/31) AAS
>>461
いやいや、ちょっと間違えた（＾＾
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }だから
limsup は、不要だろ？
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾
463: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:40:33.11 ID:lrnu6EUA(22/31) AAS
>>462 訂正
limsup は、不要だろ？
↓
liminf は、不要だろ？
（＾＾
468(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:31:06.38 ID:lrnu6EUA(23/31) AAS
>>464
ああ、了解！
それ、やっぱり、リプシッツ連続類似だね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))／d_{X}(x_{1},x_{2})}}＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)
を満たすこととすることもできる。
(引用終り)
469(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA(24/31) AAS
>>466
ご苦労さん（＾＾
”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾
で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、
その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
470(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:33:32.00 ID:lrnu6EUA(25/31) AAS
>>458
>＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
>
>ぜんぜん強くない。
バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、
ちょっと智恵がついてきたな〜（＾＾
えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ
D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞
D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞
（これ、f'＝-1/(x^2)より従う）
これは良いだろ？
ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない
（∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る）
従って、
f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！
同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ)
だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
そういう気がしてきたよ（＾＾
以上
471(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:37:15.14 ID:lrnu6EUA(26/31) AAS
>>469 追加
””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か”
のx＞0の部分な
「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが
念のためな（＾＾
472: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:52:21.97 ID:lrnu6EUA(27/31) AAS
>>471 追加の追加
子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾
”f(x)＝ x (x は有理数), −2x (x は無理数)”
この病的な不連続函数が
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
に、当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
477(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 20:22:50.16 ID:lrnu6EUA(28/31) AAS
>>473
>俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
>(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
>が成り立つ。
なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・）
では、追加質問で悪いが、
変形トマエ函数
f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？
478(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 20:31:09.98 ID:lrnu6EUA(29/31) AAS
>>473
なるほど、あんた力あるね
しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は
lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞
と解するべきと思うがね
ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で
lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞
これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）
>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない
481(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 21:36:28.73 ID:lrnu6EUA(30/31) AAS
>>479-480
了解
話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき
１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い
このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね
だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ
上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾
まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾
まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう
483(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 21:50:11.45 ID:lrnu6EUA(31/31) AAS
Ulisse Dini (14 November 1845 〜 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
いまさら、ディニ微分使った新定理を
素人が？
その見極めが先だろ
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