[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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250: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 00:13:28.35 ID:eFT4s0P8(1/13) AAS
>>246
＞カントール集合は離散集合ではないのか？
レベルが低すぎて お話にならんなｗ
カントール集合は内点を持たない閉集合で、かつ 非 可 算 無 限 集 合 である。
離散集合は自動的に可算なので、カントール集合は離散集合にならない。
>>245
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、
＞「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
＞違ったらそう言ってくれ
ぜんぜん違う。「内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるもの」が存在する。
従って、「1点から成る集合の高々可算和」に限定すると、定理の主張が弱くなってしまう。
251(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 00:22:19.98 ID:eFT4s0P8(2/13) AAS
>>247
＞”R−Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？
スレ主が持ってきた「3」と「4」の2つの例では、どちらも被覆「できる」。
なぜなら、どちらの例でも R−Bf ＝ {0} が成り立つからだ。
スレ主は何かを盛大に勘違いしている。何を勘違いしているのかは俺にも分からない。
質問の意図も不明瞭である。一応、以下で回答する。
＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？
「 x＝π と x＝√2 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような、具体的な形で答えよ。また、何度も言うように、「内点を持つよ」という書き方だけでは意味が定まらない。
内点とは集合とセットで用いられる概念である。どのような集合の内点を考えているのか、その「集合」を明示せよ。
ちなみに、「3」の関数でも「4」の関数でも、R−Bf ＝ {0} が成り立つので、リプシッツ不連続点は x＝0 の一点のみである。
特に、R−Bf は内点を持たないし、R−Bf は「内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」ことになる。
なので、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。
252(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 00:29:18.54 ID:eFT4s0P8(3/13) AAS
補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
「3」の関数でも「4」の関数でも、
・ x≠0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0
・ x＝0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞
という性質が成り立つことが確かめられるので、それらの関数のリプシッツ不連続点は、どちらの関数でも
「 x＝0 のみ」であり、よって R−Bf ＝ {0} である。一方で、スレ主は何かを盛大に勘違いしつつ
「リプシッツ不連続点は左右２点ある」などと言っているので、繰り返しになるが、どの２点のことを
言っているのか、具体的に答えよ。より明確に解答形式を指定すると、
「 3 の関数は x＝√2 と x＝e^e の２点においてリプシッツ不連続である」
「 4 の関数は x＝−1 と x＝2017 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような形で答えよ。
253(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8(4/13) AAS
>>155のスレ主の
＞「< +∞」の解釈が問題となる
というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R−Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R → R に対して、
B_f：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }
と定義したのだった。このとき、
R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
これが成り立つことは理解してるだろうな？
277(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:39:57.26 ID:eFT4s0P8(5/13) AAS
別の人のレスと重複するところもあるが、俺からの返答。
[一点でのリプシッツ連続・不連続という言葉について]
別の人が既に指摘しているし、俺も前スレで書いているように、そもそも俺は
このような言葉を聞いたことが無い。敢えて定義するなら >>252 のように
定義するのが自然だろう、という話を前スレで行った。そして、前スレの
2chｽﾚ:math
で書いたように、「一点でのリプシッツ条件」という言い方をした方がよい、とも書いた。
その後、スレ主は >>252 の定義に異論を唱えることをせず、しかも「一点でのリプシッツ条件」という言葉は
使わずに「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使い続けた。従って、スレ主もまた、>>252 の用法で
「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使うことに「合意した」のだと俺は解釈しているのだが、
なぜかスレ主は今になって この言葉の定義を蒸し返している。お話にならない。
そして、根本的な話をすると、B_f という集合は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな用語とは無関係に定義されているのだから、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな言葉を使わなくても、R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるかどうかは
機械的に判定可能である。
まとめると、スレ主は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という全く不必要な言葉を振り回した挙句に、
その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っていることになる。
279: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:42:56.15 ID:eFT4s0P8(6/13) AAS
今回の件を踏まえて、これ以降、俺の方からは「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉は
二度と使わないことにする。
B_f ：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }
という、数式だけで書かれた明確な定義があるのだから、わざわざヘンな言葉を持ち出さずとも、
この定義だけから機械的に判定していけばよいのである。
・・・という約束のもとで、さらにレスを続ける。
まずは、R−B_f がどういう集合になるのかを明記する。実は
R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。おそらくスレ主はこのことを全く理解していない。
なので、次からの３レスで、このことを解説する。
281(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:48:15.00 ID:eFT4s0P8(7/13) AAS
[ 解説１, limsup の定義 ]
g：R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に２つある。
１つ目の定義の仕方：
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ＞0 に対して
{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} ⊂ X
が成り立つので、X の中に sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、
limsup[y→x] g(y)：＝ inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} (右辺は X の中で定まる値)
と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。
２つ目の定義の仕方：
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が δ＞0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)＝＋∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)＝−∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。
282(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:54:13.08 ID:eFT4s0P8(8/13) AAS
[ 解説２, limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味 ]
１つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
α＝limsup[y→x] g(y) と置くと、これは X の元なのだった。また、＋∞ も X の元である。よって、
limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞
という不等式は、
α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X
という、X の中での普通の不等式を意味する。この時点で意味が定まっているのだから、これで終わり。
ただし、＋∞という記号が出てこない書き方も可能である。実際、拡大実数の性質により、
「 α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X 」という条件から
「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
ことが言える。よって、limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ という記号列は、
「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」
という意味である、… とも書ける。
２つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
こちらの場合、「 limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ 」という表記法自体がそもそも形式的な表記として導入され、
その意味は そもそも「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」と定義される。
283(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:57:56.68 ID:eFT4s0P8(9/13) AAS
[ 解説３, R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つ理由 ]
２つの定義それぞれに対して、R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、１つ目の定義で limsup を定義した場合の
B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }
について見ていく。１つ目の定義では、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に
R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。これで終わりｗｗ
あるいは、１つ目の定義において、「 α＜＋∞ 」は「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、
B_f＝{ x∈R｜ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜C が成り立つ } … (1)
とも表せることになるので、この表現を使うと
R−B_f＝{ x∈R｜任意の実数 C＞0 に対して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜≧C が成り立つ } … (2)
と表せることになる。ここで、「任意の実数 C＞0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α＝＋∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に
R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } … (3)
が導かれる。よって、１つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
２つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。
284(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 17:06:56.72 ID:eFT4s0P8(10/13) AAS
以上により、
R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R−B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。
「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
従って、「3」「4」の関数に対して「 R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。
取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。
293: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 18:55:42.03 ID:eFT4s0P8(11/13) AAS
>>285
＞リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。
そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。
質問：limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つ x が、１点で被覆できるか、
それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
回答：そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜, y∈(x−ε, x＋ε)
という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x−ε, x＋ε) 」の方が主体になってしまい、
「 開区間 (x−ε, x＋ε) は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
とか
「 開区間 (x−ε, x＋ε) の中を動き回る y の全体は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。
310(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:33:54.19 ID:eFT4s0P8(12/13) AAS
>>305
＞ここ大丈夫か？
＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
＞
＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？
限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は
「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
312(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 22:51:00.75 ID:eFT4s0P8(13/13) AAS
>>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。
[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、
sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1)
が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、
inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
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