[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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40(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:30:23.93 ID:dUFtnfpO(1/14) AAS
>>36 関連
いま、>>34で紹介した「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」を読み返していたが
この話自身もすごく面白いが、関連リンクがあって、それを辿ると、下記
Baire(ベール)関数 ”定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。”が
上記”開区間上リプシッツ連続定理”と似てるな〜と
証明で、(Baireのcategory定理の一種)を使うところも似てるな〜と
似てるけど、微妙に違う
ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな〜（＾＾
といま、考えているところです
（下記は、単純にコピペでアスキー表示にしたので、原文の方が圧倒的に見やすいよ）
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
Baire関数 関数f:R→RがBaire-1級関数であるとは、各n∈N毎に連続関数fn:R→Rが存在して、任意のx∈に対して
f(x)=limn→∞fn(x)
が成り立つときにいう（つまりfnがfに各点収束する）。一般に非負整数kに対してBaire-k級関数が次のように帰納的に定義される: Baire-0級関数を連続関数として定義し、Baire-(k?1)級関数までが定義されたとき、Baire-(k?1)級関数達の各点収束関数としてBaire-k級関数を定義する。これらの関数を総称してBaire関数とよぶ。
目標は次の定理を証明することです：
定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
つづく
41(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:31:12.55 ID:dUFtnfpO(2/14) AAS
>>40 つづき
定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する（関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる）。また、x∈Rに対し、ω(x)を
ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。
補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.
命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここでは証明を省略します。
定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す：
以下略
(引用終り)
42: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:33:53.86 ID:dUFtnfpO(3/14) AAS
>>39
高校生かい
その話なら、こちらの方（下記）が良いよ
もっと良いのは、学校の先生に聞くことだな
５CH数学板は、高校生の勉強には向かないよ（＾＾
分からない問題はここに書いてね438
2chｽﾚ:math
43: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:36:29.56 ID:dUFtnfpO(4/14) AAS
>>41 補足
ああ、これ文字化けしているな〜
まあ、原文を見て下さい
44(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:45:09.93 ID:dUFtnfpO(5/14) AAS
>>40 補足
そうそう、大事な引用を抜かしていたね（＾＾
”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。
まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り)
45: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 07:49:05.15 ID:dUFtnfpO(6/14) AAS
>>44 追加引用
よって、もっちょさんの記事によってディリクレ関数はBaire-2級関数であることが示されていますが、
至る所不連続であることと上記系は両立しないのでBaire-1級関数ではない、
すなわちディリクレ関数は一重極限表示をもたないことが証明されました。
以上
63: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 19:39:45.79 ID:dUFtnfpO(7/14) AAS
>>62
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
64(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 19:55:48.11 ID:dUFtnfpO(8/14) AAS
>>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 20:07:44.47 ID:dUFtnfpO(9/14) AAS
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない〜（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
このスレには、必須の人やね〜（＾＾
66(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 21:22:34.52 ID:dUFtnfpO(10/14) AAS
>>36 補足
話は飛びますが、みなさん、”どっきりカメラ”（下記）をご存知でしょう（＾＾
で、「こんな簡単な証明がなぜ分らないのだ！！ こら〜！」と言われ、「はい、分りました」と言った後で
大学院DRコースの人とかが来て、「それ成り立たないよ」とかね。
あるいは、「この前の院の関数論講義で、成り立たないと言っていた」とか。そんな、「ドッキリ」が出てこないとも限らない
自分が、「確かにこの定理は成立するだろう」というかなりの確信が持てるまで、うっかり証明論争に巻き込まれないようにしたいねと
自分が、この証明を読んで、証明の成否を判断できるほど、私のレベルは高くない
で、いまのところ、一人だけ「正しいと思います」と言ったが
しかし、それ以外に賛否を明らかにした人は、まだいない
なので、しばらく、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、
反例探しを、続けますよ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%83%E7%A5%96%E3%81%A9%E3%81%A3%E3%81%8D%E3%82%8A%E3%82%AB%E3%83%A1%E3%83%A9
元祖どっきりカメラ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%AA
ドッキリ
ドッキリとはバラエティ番組の表現手法のひとつ。番組進行を知らない、または虚偽の進行だけ知らされている出演者をだましたりイタズラを仕掛けたりして、出演者の反応を楽しむという手法。
語源は「ドッキリする」という心臓の鼓動が高まるほど驚く様子を表す言葉である（後述の元祖どっきりカメラの影響）。最後にネタばらしを行うが、ネタばらしは仕掛け人と呼ばれる進行役が番組名や「ドッキリ」と書かれたプラカードを持って登場する方式が多い。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%82%8F%E3%81%A3!%E3%83%80%E3%83%9E%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%A4%A7%E8%B3%9E
うわっ!ダマされた大賞
67(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 21:45:11.26 ID:dUFtnfpO(11/14) AAS
>>40 補足
反例の一つの可能性は、連続関数の１回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか？
私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね〜（＾＾
68: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 21:47:57.17 ID:dUFtnfpO(12/14) AAS
>>67 訂正
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
↓
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散していて、それらリプシッツ”不”連続点以外ではリプシッツ連続な関数
69: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 23:21:02.39 ID:dUFtnfpO(13/14) AAS
>>66 補足
いや、当然、あの定理を考えた人は、真剣に定理が成り立つと思っているのでしょう
が、証明が公開されたあとの、他の人の反応がね・・・
静か過ぎる（＾＾
ひょっとすると、皆さん正しい答えを知っていて、私が間違うのを待っている可能性もあるかなと（＾＾
なので、自分で定理の正否について、
ある程度の確信が持てない限り、「証明論争には、うっかり乗れません」ということです（＾＾
71(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 23:59:51.61 ID:dUFtnfpO(14/14) AAS
>>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。
つづく
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