[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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395(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 00:29:32.63 ID:bIg1uYPK(1/8) AAS
>>390
B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
>>392
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。
条件Ａ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に
なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、
f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。
一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、
むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を
導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。
403(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 16:29:57.94 ID:bIg1uYPK(2/8) AAS
>>397
＞上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね
スレ主自身が「定義をよく読んで下さいね」と言っているように、そこに書いてあるのは単なる「定義」の話である。
より具体的に言うと、そこに書いてあるのは、limsup を一般の距離空間の上で定義している話である。
例の pdf で対応する箇所を探してみると、１ページ目の一番最初の
「 定義1.1 」
の limsup[y→x] g(y) の話に対応しているだけである。今まで limsup の定義にケチをつけていたスレ主にとっては、
もはや定義そのものにはケチをつけられなくなったという話に過ぎない。つまり、スレ主は自分の首を絞めているだけである。
そもそも、スレ主が挙げているそのリンク先は、俺が最初に >>362 で挙げたリンクである。
>>362 はどういう状況だったかというと、「 limsup の定義にケチをつけていたスレ主に対して、いくつか文献を提示していた」
という状況である。そのようなリンクを、後になってスレ主の方から持ち出しても、
「わたくしスレ主は limsup の定義にケチをつけていましたが、もはや定義そのものにはケチをつけられません」
と言っているのと同じことである。
404(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 16:34:32.09 ID:bIg1uYPK(3/8) AAS
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R−B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、
もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。
そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。
406(5): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 16:41:17.70 ID:bIg1uYPK(4/8) AAS
[記法の整備 その２]
さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。
Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」
より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。
―――――――――――――――――――――――――――――――
Lips(x,f)：
x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと
「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」
が成り立つことは同値であることに注意する。
407(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 16:45:23.53 ID:bIg1uYPK(5/8) AAS
さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。
スレ主が引用している主張
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
例の定理
――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。
もし R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、主張している内容が全く違う。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、
例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、
この時点で既に状況が違っている。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、
例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を
"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。
……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ
420(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 22:42:07.60 ID:bIg1uYPK(6/8) AAS
>>419
「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。
ディニ微分については最初から知っていたが(たとえば、俺の手元のルベーグ積分論の本にはディニ微分が載っている)、
スレ主が「リプシッツ」という余計な言葉を使って議論を引っ掻き回していたので、俺の口からは何も言わなかった。
B_f で扱っている量がディニ微分そのものではない、という点についても特にツッコミどころは無い。
ただし、4つのディニ微分を全て統括して limsup で抑えた形には なっている。
で、そんなことより、>>404-407 への返答が全く無いのだが？
424(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/22(金) 23:39:45.20 ID:bIg1uYPK(7/8) AAS
>>422
こういう、どうでもいいところばかりは
鬼の首を取ったかのように(しかしトンチンカンな)レスを重ね、
本題となっている議論は間違えに間違えを重ねて
未だに何も理解してないというスレ主の惨状。
＞おっさん、書名書名（＾＾
「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
ここはルベーグ積分に対する「微積分学の基本定理」の節になっており、
そこで自然にディニ微分が扱われるので、俺は既に知っていた。
というか、ルベーグ積分をキチンと勉強した人なら、大抵は知っていると思われる。
425: １３２人目の素数さん [age] 2017/12/22(金) 23:42:39.66 ID:bIg1uYPK(8/8) AAS
>>423
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
＞だったよね
＞おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾
お前は何を言ってるんだ？「 ＜＋∞ 」を含めて載ってる例は
その >>361-362 で既に出してるだろ？ちゃんと目を通したのか？
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