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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/
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523: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 07:22:11.45 ID:U1NU7yFp 朝からちょっとだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/523
524: １３２人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 07:23:50.32 ID:U1NU7yFp >>520 既にレスしてくれている人が居るが、俺からもレスしておく。 ＞定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？ 拡張ではなく、最初からそういう適用が可能であるような定義になっている。 定義をキチンと読み直せ。もはや数学ではなく国語の問題である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/524
525: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 07:29:02.91 ID:U1NU7yFp >>520 あるいは、権威主義のスレ主のために、次のような言い方をしてもよい。 まず、>>503 で書いたことを もう一度書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で 被覆できるとき、A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。従って、例の pdf の ＞ 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, ＞ 各Fiは内点を持たない, ＞ S ⊆ ∪iFi ＞ が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」 この記述は、「 S は第一類集合 」の定義を書いているだけである。 これとスレ主のトンチンカンな主張を組み合わせると、 「定義1.2 の集合 S は、各 F_i が高々可算無限集合でなければ第一類集合とは呼ばない( F_i に連続濃度を許すと、個数が曖昧になる)」 というアホな主張をしていることになる。しかし、第一類集合 S であって、 F_i を可算無限に限定することが出来ないものが ごく普通に存在するので、 この時点でスレ主は間違っていることになる。 ま、いずれにしても本質的には「国語の問題」なので、 スレ主はキチンと定義を読み直すことだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/525
535: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 18:38:17.34 ID:U1NU7yFp >>526 ＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない ＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？ 息をするように間違えるゴミクズ。 リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないので、 このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。 では、R−B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、 R−B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。 L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。 よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、 「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1) として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R−B_f ⊂ L という包含は R−B_f ⊂ F_1 を意味することになる。特に、R−B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。 しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。 しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R−B_f について(1)の被覆が 出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。 [続く] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/535
536: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 18:43:50.14 ID:U1NU7yFp [続き] ここで、L の各点 p に対して、一元集合 {p} は閉集合であることに注意する。 そこで、各 p∈L を適当に番号づけて F_i＝{p} と置き直して、 L＝∪_i F_i と表すことを考える。もしこのような芸当が可能ならば、R−B_f ⊂ ∪_i F_i となるので、 やはり例の定理が適用できることになり、そして矛盾するので、例の定理は間違いとなる。 しかし、実際には、L が非可算無限集合であるがゆえ、{p} も非可算無限個となるので、 F_i＝{p} と置く場合の F_i は可算無限個に収まらず、よって、このような F_i の置き方では L＝∪_i F_i という表現はできない。スレ主の目論見は やはり失敗に終わる。 このように、仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても全く反例にならないのである。 しかも、実際にスレ主が持ち出した例は L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎず、余計に反例になってない。 結局、今回のスレ主の間違いは、次の3つである。 ・ L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないシロモノを持ち出してきても、ぜんぜん反例になってない。 ・ 仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても、R−B_f について(1)の被覆が出来ないので、やはり反例になってない。 ・ どうもスレ主は、F_i の置き方をキチンと意識してないがゆえに、いつの間にか可算無限個の F_i で L＝∪_i F_i と表現できているように勘違いしている節がある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/536
537: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 19:34:09.08 ID:U1NU7yFp 補足： リウヴィル数の全体を L と置いたのだったが、この L は第「二類」集合であることが知られている。よって、 L ⊂ R−B_f が成り立つような任意の f：R→R に対して、R−B_f は例の被覆が絶対に不可能であることが自動的に従い、 よって例の定理の適用範囲外となる。 一方で、スレ主の持ち出した f^r (r＞0, f はトマエ関数) に対して L ⊂ R−B_{f^r} が成り立つのだから、結局、これらの f^r は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/537
539: １３２人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 19:49:34.68 ID:U1NU7yFp >>538 ＞出典は？ バカなの？ L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて L＝R になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/539
540: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している ＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets ＞of points that are each dense in the reals. ＞Then g fails to have a derivative on a ＞co-meager (residual) set of points. In fact, ＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz ＞condition, a pointwise Holder condition, ＞or even any specified pointwise modulus of ＞continuity condition on a co-meager set. についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、 「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」 と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。 よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、 A ⊂ R−B_g が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが 自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。 特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。 これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた 「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を 読まなければならなくなった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/540
544: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 20:29:29.60 ID:U1NU7yFp >>541 ＞それなら、Qも閉集合ではないだろ お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？ もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。 しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。 ではどうするか？ F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、 各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、 このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも Q＝∪_i F_i, 各 F_i は内点を持たない閉集合 と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。 L の場合にこの芸当が不可能なのは、 ・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。 ・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が 非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。 という理由があるからだよ。 結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然 意識してないから、 そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/544
547: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 21:11:29.72 ID:U1NU7yFp >>546 そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。 R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。 ・・・という記法のもとで回答すると、 ・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ 例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。 ・ そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。 ・ スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、 スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/547
549: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp >>548 ＞Q全体では、開集合だと言われましたね？ 意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。 どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 ついでなので、先に回答しておく。 ＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？ ・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。 [続く] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/549
550: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 21:36:25.58 ID:U1NU7yFp [続き] Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、 Q'＝(0,1)∩V が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、 Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。 次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、 Q'＝(0,1)∩K が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす (0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、 x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。よって、x∈(0,1)∩K となるので、 x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。 以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/550
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