[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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488(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:26:46.65 ID:Q5UHveEY(1/18) AAS
>>481
> 99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
いままでのところを整理しておこう
・証明を読むだけが数学ではない
・数学は理論体系である
・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ
つづく
489(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:27:26.09 ID:Q5UHveEY(2/18) AAS
>>488 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
・ディニ微分関連で
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜が、４つのディニ微分を使って
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）
つづく
490(8): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:27:59.44 ID:Q5UHveEY(3/18) AAS
>>489 つづき
補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？
・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
（参考：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合））
・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると
１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
つづく
491(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:28:55.12 ID:Q5UHveEY(4/18) AAS
>>490 つづき
さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった
変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
つづく
492(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:29:35.07 ID:Q5UHveEY(5/18) AAS
>>491 つづき
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく
493(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:30:23.82 ID:Q5UHveEY(6/18) AAS
>>492 つづき
---------------------------------------------------------------
[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]
It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.
This paper is on the internet at
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D98723
つづく
494(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:30:54.63 ID:Q5UHveEY(7/18) AAS
>>493 つづき
---------------------------------------------------------------
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.
We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.
THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.
THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
つづく
495: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:31:38.62 ID:Q5UHveEY(8/18) AAS
sage
496(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:31:48.31 ID:Q5UHveEY(9/18) AAS
>>494 つづき
(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have to form an
F_sigma set, however). See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer,
"A property of functions discontinuous on a dense set",
American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966),
378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each
0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that
{x: f is continuous at x} is dense in R and
{x: f is not continuous at x} is dense in R,
the set of points where f does not satisfy a
pointwise Holder condition of order s is the
complement of a first category set (i.e. a co-meager
set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version
of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the
co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get
a co-meager set G such that, for each x in G, f does
not satisfy a pointwise Holder condition at x for
any positive Holder exponent. (Heuer does not
explicitly state this last result.) A metric space
version of Heuer's result for an arbitrary given
pointwise modulus of continuity condition is essentially
given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse,
and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points",
American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972),
603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last
theorem in Norton [17] below.
つづく
497(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:33:54.26 ID:Q5UHveEY(10/18) AAS
>>496 つづき
で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると
[15] Gerald Arthur Heuer先生
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
かな？
特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！
これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う
まあ、年末は忙しい
ゆっくりやりましょう（＾＾
以上
498(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:42:49.93 ID:Q5UHveEY(11/18) AAS
>>497 補足
1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
2)「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する
その（無理）点は、微分不能
だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる
以上
506(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 20:59:06.39 ID:Q5UHveEY(12/18) AAS
>>497 関連
無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という
函数の構成があったので、貼っておく（＾＾
http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples
(抜粋)
We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q.
As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here.
http://www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative
Recall f main properties:
略
This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp.
Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)−up(x) is differentiable at a.
As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a.
finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a.
Conclusion:
the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points.
(引用終り)
508(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:03:53.86 ID:Q5UHveEY(13/18) AAS
>>505
ID:ndfap2+Cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
あなたは
(>>401)
"どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外"
と書いてくれた人かな？
>>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
>違うよ
>境界点だけということ
>境界点が孤立してなくてはいけないわけではない
ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
ちょっと考えてみるよ
510: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:16:17.46 ID:Q5UHveEY(14/18) AAS
>>507
ID:ndfap2+Cさん、あなたはレベル高そうだから、聞くが
（>>497より）
「特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！」
の私の疑問点について、あなたの解釈は？
別に分り易く書いてくれとは言わないが
書いてくれたことに、一定の納得がいって、定理1.7（>>489）が、成り立ちそうということが見えれば、証明を読むことはやぶさかではない
だが、反例がありそうな証明を読むことは、特に必要がある場合は別として、私はしない（教科書に載っている、あるいは投稿論文の定理は別として）
511: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:21:58.69 ID:Q5UHveEY(15/18) AAS
>>499-500
BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。
考察進んでいるようで、なによりです（＾＾
513(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:53:33.96 ID:Q5UHveEY(16/18) AAS
>>501-502
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね
で、これは、R上で稠密であってはならない
なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う
だから、もし、補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ
（参考）
（>>490）
証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
系1.8の証明で
「定理1.7 のBf について,
R − Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R − Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p} (1)
である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2)
さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
514(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 22:01:49.91 ID:Q5UHveEY(17/18) AAS
>>512
違うのか！ それは残念だな（＾＾
ところで、>>513 に引用したけど、
” ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合である”は、良いんだろ？
で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ）
520(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 23:58:13.08 ID:Q5UHveEY(18/18) AAS
>>517 & >>519
定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
各Fiは内点を持たない,
S ⊆ ∪iFi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
だったよね？
Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
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