[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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574(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 19:47:04.40 ID:IBTJ7HPw(1/13) AAS
>>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾
>Qで不連続は不要です
同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ
>（ある条件）とは？
系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。
なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。
（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです）
575(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 19:49:19.10 ID:IBTJ7HPw(2/13) AAS
>>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です
578(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 20:14:55.29 ID:IBTJ7HPw(3/13) AAS
>>576
>A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。
いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません
が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です
（しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。）
579(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw(4/13) AAS
>>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾
580(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw(5/13) AAS
>>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。
581: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw(6/13) AAS
>>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513）
587(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 21:09:07.92 ID:IBTJ7HPw(7/13) AAS
>>585
>>585
>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>どちらも正しいということです
へー、どういうこと？
>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
同意です
上記のURLにあります
588(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 21:09:27.29 ID:IBTJ7HPw(8/13) AAS
>>586
>ここで話題の定理の証明を読んでみてください
それは、お断りしています（＾＾
でも、斜め読みはしました（＾＾
589(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 21:39:44.08 ID:IBTJ7HPw(9/13) AAS
>>582
>よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
>「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
>ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない
ああ、そうなのかい
それは、失礼した（＾＾
だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？
590(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 21:40:16.00 ID:IBTJ7HPw(10/13) AAS
>>583
系1.8の証明で、
「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？
597(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 23:24:09.60 ID:IBTJ7HPw(11/13) AAS
>>592
>こう書くべきでしたか？
いいえ
>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
それは証明を読まずとも分る
問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾
なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが
定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？
あれば、それを見てみたいのだが・・
598(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 23:25:21.75 ID:IBTJ7HPw(12/13) AAS
>>593
>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
どこかに出典がありそうですね。
よければ、出典を教えて下さい
（ε近傍の話かな？）
>つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね
そうでしょうね
599(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 23:26:09.73 ID:IBTJ7HPw(13/13) AAS
>>596
>スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
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