[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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456(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 16:41:48.59 ID:ANqzVc/X(1/13) AAS
>>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？
「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」
と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。
まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ
そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
とか
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。
457(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 16:45:16.41 ID:ANqzVc/X(2/13) AAS
>>432
＞おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
＞「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
R上のディニ微分には４つの種類がある。それは
D^{-}f(x)：＝ limsup[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D^{+}f(x)：＝ limsup[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D_{-}f(x)：＝ liminf[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D_{+}f(x)：＝ liminf[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x)
の４種類である。R上のディニ微分と言えば、あくまでもこの４種類の量のことを指す。この量は明らかに
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ (>>404より)
とは完全一致しない。俺が言っている「ディニ微分そのものではない」とはそういう意味
(４つのディニ微分のいずれとも完全一致しない、という意味)である。もはや数学ではなく、国語の問題である。
一方で、「ディニ微分の類似品ではあるが」とも書いた。これは、４つのディニ微分でやろうとしている操作を、
Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。
458(3): １３２人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 16:48:38.29 ID:ANqzVc/X(3/13) AAS
>>439
＞下記、斎藤新悟先生のテキストの
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、
「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、
A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは
「 系 1.5 よりも、"R−Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」
ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、
特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、
"R−Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。
結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、
「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。
お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、
手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、
余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。
これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。
459(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 16:53:18.05 ID:ANqzVc/X(4/13) AAS
ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしくは
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。
ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。
464(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 17:47:31.44 ID:ANqzVc/X(5/13) AAS
>>460
＞それが、実は定義だろ？
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は定義ではなく、定理である。limsup と liminf の基本的な性質から出る。
＞Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
Bf(k) などという集合を定義した覚えはない。ただし、その集合を使えば
Bf＝∪[k＝1〜∞] Bf(k) と書けるので、Bf(k) を使っても問題はない。
>>461
＞おれ的には、最初から
＞定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
＞ってことさ（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) の定義はあくまでも Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ である。
ただし、定理として Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は成り立つので、こちらを定義として採用しても理論上は問題は起きない。
ただし、こちらを採用した場合、例の pdf の「 補題1.5 」の証明が面倒くさくなるので、
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ という最初の定義の方が すっきりする。
>>462
＞Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。その２種類だけじゃダメだよ。４種類すべてを使って初めて
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等号が成り立つ。liminf も必要なんだよ。
466(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 18:08:58.57 ID:ANqzVc/X(6/13) AAS
以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)
として f：R→R を定義すると、
f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), −2 (y＞0, y は無理数)
であるから、
Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)−f(0))/(y−0)｜＝ 2
となる。また、
D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 1
D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ −2
となる。特に、
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2
となるので、この例では
Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }
という等号が成り立たない。しかし、
Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜}
という等号は成り立つ。
limsup, liminf の計算すらマトモに出来ない おバカのスレ主には、
この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。
473(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X(7/13) AAS
>>469
＞その不連続函数は
俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。
>>470
＞従って、
＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく
f：R−{0} → R￣
なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、
・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。
474: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:01:03.36 ID:ANqzVc/X(8/13) AAS
>>470
＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
全くレアではない。>>459 を読み直せ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。
・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら
B_f＝R
となるので、特に R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。
(丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。
さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を
何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R−B_f は例の被覆が「できる」。
475(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:09:15.18 ID:ANqzVc/X(9/13) AAS
被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて
１つ書いてみるか。
・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。
このとき、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。
これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する
(f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣ にする、という前提のもとで)。
なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
479(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:53:24.09 ID:ANqzVc/X(10/13) AAS
>>477
＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？
知らない。
俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。
>>478
＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞
＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞
その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
原点を含む十分小さな開区間 (−ε, ε) の中の任意の点 x で
f'(x)＝＋∞
が成り立つというのであれば、(−ε, ε) ⊂ R−Bf が成り立つので、
R−Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に
f'(x) ＝ −1/x^2
であり、ゆえに
Af(x) ＝ 1/x^2
であり、ゆえに R−{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R−Bf ⊂ {0} であり、
ゆえに、R−Bf は例の被覆が「できる」のである。
480(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:59:51.99 ID:ANqzVc/X(11/13) AAS
>>478
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。
まず、お前の主張が正しいとすると、
(−ε, ε) ⊂ R−Bf
が成り立つことになる。R−Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、
(−ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1)
が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。
このとき、x∈(−ε, ε) だから、(1) により
Af(x)＝＋∞
が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝−1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、
Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。
485: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 22:30:30.64 ID:ANqzVc/X(12/13) AAS
>>481
＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、
ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は
「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」
という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が
言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。
>>483
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。
我々が文献を見つけてないだけ。
strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理
で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。
息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。
486: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 23:16:46.74 ID:ANqzVc/X(13/13) AAS
「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」
普通の数学徒の反応：
へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。
スレ主の反応：
ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない)
これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない)
この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理)
こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない)
この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか
「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。
こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、
「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で
スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ
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