[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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96(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 13:27:21.76 ID:9/yG/0pd(1/6) AAS
>>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。
103(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 13:48:58.96 ID:9/yG/0pd(2/6) AAS
>>102
対偶を取って命題を把握しろってことだよ。
前提をp、結論をqとしたら、命題 p⇒q とその対偶の命題 ¬q ⇒ ¬p とは同値な命題になるだろ。
これは高校で習ったろ。
125(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 16:04:32.84 ID:9/yG/0pd(3/6) AAS
>>106
トーメ関数でも何でもいいけど、それとよく似た性質を持つような、
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x)
の存在性によって
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] 「のみに限り完全集合となるようなことはあり得ない」。
となって、元の仮定が否定がされるから、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、2個以上の正の実数εに対し、
>3個の開区間Iの相異なる有理点 a,b,c に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] は完全集合となる。
というごく当たり前のことが従う。
126: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 16:14:51.15 ID:9/yG/0pd(4/6) AAS
>>106
>>125の訂正：
下から6行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] → [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε]
下から2行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] → [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε]、[c−ε, c＋ε]
131(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 16:43:09.16 ID:9/yG/0pd(5/6) AAS
>>130
私が示したのは
>開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が存在ならば、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
の方(の対偶)だよ。トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
132: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 16:58:17.31 ID:9/yG/0pd(6/6) AAS
>>130
一応、>>131の
>トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
の部分は
>(任意の)閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] は完全集合だから問題ないだろ。
と書くべきだった。
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