[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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148: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 22:36:32.73 ID:/2xvBEHK(49/58) AAS
>>147 つづき
関連項目
円筒集合
https://en.wikipedia.org/wiki/Cylinder_set
Cylinder set
(抜粋)
In mathematics, a cylinder set is the natural open set of a product topology. Cylinder sets are particularly useful in providing the base of the natural topology of the product of a countable number of copies of a set.
If V is a finite set, then each element of V can be represented by a letter, and the countable product can be represented by the collection of strings of letters.
Applications
Cylinder sets over topological vector spaces are the core ingredient in the formal definition of the Feynman path integral or functional integral of quantum field theory, and the partition function of statistical mechanics.
(引用終り)
以上
149(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 22:47:53.73 ID:/2xvBEHK(50/58) AAS
>>144
>・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88
単集合 （一元集合から転送）
(抜粋)
数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。
つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も唯一の集合（それ自体は単集合ではないが）を元として持つ単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。
公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。
即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。
ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。
任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。
つづく
158(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 23:57:29.73 ID:fRMS+153(1) AAS
pdf を投下した者だが、結局スレ主は、
たった2ページの証明から逃げ回って反例モドキの探索に明け暮れた挙句に、
トンチンカンな論法で何かを結論したつもりになっているわけで、
呆れ返るばかりである。
>>155
＞ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }","R−Bf"において
＞「< +∞」の解釈が問題となる
ここでの「 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」 とは、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。
＞２．"R−Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
R−Bf は「実質的に不連続点の集合」とは全然違う集合なので、
「２」以降のスレ主の考察は意味を成さず、例の定理の反例にもならない。
さっさと pdf の証明をキチンと読んで出直してこい。
313: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 23:06:50.73 ID:F1UbN7QE(18/18) AAS
>>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
>
> という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。
390(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/21(木) 23:57:56.73 ID:deCNDqL9(1/2) AAS
>>376
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね
おれも、勉強不足だね。知らなかったな・・（＾＾
で、おっさん重箱の隅だが、拡張実数をいうなら
下記の本のように、”Let B ⊂ R, f : B →R￣”(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)としとくべきだぜ
https://www.amazon.co.jp/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801
Fundamentals of Real Analysis (Universitext) (英語) ペーパーバック ? 2008/6/13 Sterling K. Berberian (著) 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）（検索すると、無料PDFのサイトがあったが、怪しそうだったので、アクセスせず（＾＾； ）
(P220)
5.3.6. Theorem. Let B ⊂ R, f : B →R￣, c ∈ R, and suppose that
B⊃(c - r,c)∪(c,c +r) for some r >O. In order that
(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)
lim x→c, x≠c f(x)
exist (in the sense of 3.5.5), it is necessary and sufficient that the four numbers,
lim sup x→c+ f(x), lim inf x→c+ f(x),
lim sup x→c- f(x), lim inf x→c- f(x),
be equal, in which case all five number are equal.
5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
つづく
443: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 11:32:41.73 ID:lrnu6EUA(12/31) AAS
>>439 追加
下記では”Diniの導来数”
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f
ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430
(抜粋)
「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。
僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。
ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。
数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。）
そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。
より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。
「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048
ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。
ときわ台学：ルベーグ積分入門
（とてもわかりやすいので、特にお勧め。）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html
ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf
ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました
目次
第６章：微分法と積分法
- Diniの導来数
(引用終り)
481(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 21:36:28.73 ID:lrnu6EUA(30/31) AAS
>>479-480
了解
話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき
１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い
このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね
だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ
上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾
まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾
まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう
505(3): １３２人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 20:49:26.73 ID:ndfap2+C(1/4) AAS
>>490
>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
違うよ
境界点だけということ
境界点が孤立してなくてはいけないわけではない
540(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp(8/12) AAS
さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している
＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.
についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、
「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」
と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、
A ⊂ R−B_g
が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。
特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ
そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。
568(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 13:51:56.73 ID:oeOow6Ma(5/5) AAS
>>565-566
>その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ
いや、もちろん連続関数です。
”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
↓
では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ）
599(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 23:26:09.73 ID:IBTJ7HPw(13/13) AAS
>>596
>スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
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