[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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28(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/14(木) 18:39:03.61 ID:JQcHE8p2(5/5) AAS
>>27は>>25の続き。
>>26
そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。
71(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 23:59:51.61 ID:dUFtnfpO(14/14) AAS
>>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。
つづく
161(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/17(日) 00:02:16.61 ID:uVIGteN6(1/26) AAS
>>158
良い機会だから、一つ質問して良いか？
"ここでの「 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」 とは、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"
こういう解釈なら、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜ < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね？
280: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 16:44:34.61 ID:F1UbN7QE(12/18) AAS
ID:eFT4s0P8氏が戻ったので一旦引きます
397(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/22(金) 10:13:21.61 ID:DI5Mb9wp(1/3) AAS
>>395
おっさん、正気か？
>B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
>｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね〜”」と思ったのだが・・
というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から
「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」
いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが）
（まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね〜・・・）
”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？
>>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces
下記定義に従わないといけないからね
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
(引用終わり)
>はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね
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