現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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36(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/14(木) 22:50:41.31 ID:oVKNFyGV(22/22) AAS
>>35 つづき

で、問題は、>>20の2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bKさんは、
命題Aの別証明を得ようとして
>>20の
”定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。”

を考えたが、この定理はすごく強力でね

この定理を、仮に”開区間上リプシッツ連続定理”と名付けると
>>21に書いたように
”開区間上リプシッツ連続定理”→系：命題B→系：命題A

ということで、元の命題Aより遙かに強い命題Bをその系として証明できるのだった
つまり、”確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね”というコメントと、”証明が正しい”というコメントとは、異なると理解しているけど？

「ぷふ」さん、如何ですか？

で、繰返すが、命題Bは、まだプロ数学者は論文として発表していないようで、私の探している範囲で見つかっていない
いま、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、命題Bの成否について、テキストや論文がないか、探しているところです（＾＾

（参考）>>21より
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
(引用終り)

以上

49(7): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:44:46.31 ID:8RLwNZRE(1/10) AAS
おっちゃんです。
>>23-25、>>27は取り消し。
最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。

Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
証明)　[第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が
存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して
正の実数 δ(ε) が定まって、|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) }　とおく。すると、
区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理点cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。

82: １３２人目の素数さん [] 2017/12/16(土) 09:22:55.31 ID:6lAUkPpQ(1/14) AAS
と、バカが独り言を重ねております

132: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 16:58:17.31 ID:9/yG/0pd(6/6) AAS
>>130
一応、>>131の
>トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
の部分は
>(任意の)閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] は完全集合だから問題ないだろ。
と書くべきだった。

229(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/18(月) 17:20:18.31 ID:MukQBD/9(2/7) AAS
>>228
どうもスレ主です。
ご丁寧なレスありがとう（＾＾

考えてみるよ
しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい？

248: １３２人目の素数さん [] 2017/12/18(月) 23:57:46.31 ID:OYSP7g0j(2/2) AAS
群を抜くスレ主の頭の悪さ

253(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8(4/13) AAS
>>155のスレ主の

＞「< +∞」の解釈が問題となる

というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R−Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。

――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R → R に対して、

B_f：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }

と定義したのだった。このとき、

R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

これが成り立つことは理解してるだろうな？

271: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/19(火) 11:13:43.31 ID:F1UbN7QE(8/18) AAS
>>269
> ”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
> 理論を類推適用してないかな？

なんでリプシッツ連続の話をしてるのに連続の話になるの？
いままでそんな話おまえ以外にしたか？

366: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/20(水) 22:34:44.31 ID:dTP7CxCo(3/5) AAS
limsupからB_fからリプシッツ連続の定義から何から何までことごとく理解できないアホは数学板から消えてほしい
言うことに困るといつもwell-definedでない！と文句をつけてくるアホは数学板から消えてほしい
とにかくスレ主には数学板から消えてほしい
なんか数学を冒涜されてる気がするんだよ
オマエみたいな奴に分かった風に数学を語られると

389: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 23:40:22.31 ID:vr8zcYMx(1) AAS
スレ主に比べれば　哀れな素人氏　はずいぶんマシだったという驚愕の事実

496(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:31:48.31 ID:Q5UHveEY(9/18) AAS
>>494 つづき

(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."

NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have to form an
F_sigma set, however). See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer,
"A property of functions discontinuous on a dense set",
American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966),
378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each
0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that
{x: f is continuous at x} is dense in R and
{x: f is not continuous at x} is dense in R,
the set of points where f does not satisfy a
pointwise Holder condition of order s is the
complement of a first category set (i.e. a co-meager
set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version
of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the
co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get
a co-meager set G such that, for each x in G, f does
not satisfy a pointwise Holder condition at x for
any positive Holder exponent. (Heuer does not
explicitly state this last result.) A metric space
version of Heuer's result for an arbitrary given
pointwise modulus of continuity condition is essentially
given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse,
and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points",
American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972),
603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last
theorem in Norton [17] below.

つづく

526(6): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 07:58:39.31 ID:R/y0B5bE(1/9) AAS
>>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ

なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾

でな、下記

リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ

つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？

(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;

(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

つづく

527(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 07:59:20.31 ID:R/y0B5bE(2/9) AAS
>>526 つづき

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上

576(1): １３２人目の素数さん [] 2017/12/26(火) 19:55:00.31 ID:84+rbTu3(3/8) AAS
>>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています

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