[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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35(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/14(木) 22:44:02.12 ID:oVKNFyGV(21/22) AAS
>>29
どうも。スレ主です。
ご指摘レスありがとう
ところで、どういう意味かな？
「ぷふ」さんの「確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね」というのは
>>21に書いてある命題Aのことでしょ
でそれは、前スレ284-285 に有るとおり、上記>>20の証明の前（2006以前）に、プロ数学者が命題Aは得ているよ
（再度引用しておく）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
180(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 10:23:35.12 ID:YpPuPyFW(7/11) AAS
>>178
詭弁である。その理屈が通るのは、そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。
「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、いきなり証明を持って来られても
読む気になりません。どうしてもというならプロのお墨付きをどうぞ」
このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は
・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある
のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である(これは数学に限ったことではない)。
491(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 10:28:55.12 ID:Q5UHveEY(4/18) AAS
>>490 つづき
さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった
変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
つづく
522(2): １３２人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 00:37:44.12 ID:P3YrdrZj(1/4) AAS
>>520
>Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
当然ですよ
>そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
どうして？
カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
当然ですよ
582(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/26(火) 20:25:26.12 ID:BhzQ/YUm(2/8) AAS
これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。
>>561
＞１．ここで場合分けをする
＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。
ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、
「 f は(a,b)内の あ る 小 さ な 部 分 区 間 の 上 で リプシッツ連続である」
ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることには なる。
ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から
証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」
というスレ主の発言は大間違いである。
[続く]
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