[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む37 [無断転載禁止]©2ch.net (681ﾚｽ)
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550(1): ｝現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/08/09(水) 07:44:55.88 ID:bM/5YfPT(9/18) AAS
>>537 補足追加
無限が話題になっているので、関連部分引用
”時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
(抜粋)
宇宙 (数学)
通常の数学
研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。
言い換えれば、X 上の二項関係 (デカルト積の部分集合 X × X) 、もしくは X からそれ自身への写像を考えれば、P(X × X) もしくは X^X のような宇宙が要請される。
したがって、主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。
(略、本文ご参照)
S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！ 自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。 実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。 時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
しかし、S{} は通常の（有限主義者ではない）数学者にとっては不足である。なぜなら、N が S{} の部分集合として利用可能であるとはいえ、依然として N の冪集合は利用不可能だからである。 特に、実数の任意の集合は利用不可能である。 そのため、もう一度上記のプロセスを開始して S(S{}) を形成する必要があるだろう。
しかし、物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。 これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。
例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。 超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。 研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。
(引用終り)
559(1): １３２人目の素数さん [] 2017/08/09(水) 18:54:24.47 ID:OWBfmAtB(7/7) AAS
>>550
＞無限が話題になっているので、関連部分引用
>>1は現代集合論を全く知らんidiotだから仕方ないが
無限集合ωの存在を無限公理で認めて
そのベキ集合２＾ωをベキ集合の公理で認めても
それだけでは、２＾ωが整列可能とはいえない
「２＾ωの整列可能性」はZFにおける決定不能命題
そして
ACが公理⇒全ての集合（もちろん２＾ωも）が整列可能
だから
２＾ωが整列不能⇒非可算のACは正しくない
ということになる
そうなったところで、ルベーグ測度を含む解析学は全然可能
単に「ルベーグ可測でない集合」が存在するか否か、の違い
「選択公理は直感的に正しい！」というのは
「平行線公準は直感的に正しい！」とか
「ニュートン力学の絶対時間は直感的に正しい！」とか
いうのと同等の宗教的信仰の強制でしかない
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