[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む37 [無断転載禁止]©2ch.net (681ﾚｽ)
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143(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/03(木) 15:41:58.44 ID:bz3XB80i(1/5) AAS
>>21
>前から思っているんだが、あんた、現代確率論の内側に入れないね〜。まあ、ルベーグ積分が分かってないんだね
>おーい、おっちゃんよ、聞こえているか？ 「ルベーグ測度を用いるのに、非可算選択公理は必要ない」だって〜（＾＾
>
>これ、どう思う？
おっちゃんです。
ZFの公理系が矛盾しない(以下この命題を P(ZF系) と略記)ということと、実数直線Rの任意の部分集合がルベーグ可測である
(以下この命題を P(ルベーグ可測) と略記)ということの両方が共に正しい(以下この命題を単にPと略記)ことを仮定すれば、
R上の非可測集合Sにもルベーグ測度を入れる操作が数学的に正しくなる。つまり、数学的にはSに確率測度を入れる操作が正しくなる。
P(ZF系) が正しいことだけを仮定する。P(ルベーグ可測) が数学的に正しいとするには、Rの非可測集合Sの存在性が必要になる。
Sの存在性を示すには非可算選択公理に矛盾がないとしてそれが必要になる。
その一方で、P(ルベーグ可測) が正しいことだけを仮定する。そうしても、やはり非可測集合Sの存在性が暗に仮定されていて、
非可算選択公理に矛盾がないとして暗にそれが仮定されている。
だから、P(ZF系) と P(ルベーグ可測) なることの両方が正しい(つまり命題Pが正しい)と主張することは、
ZFCの公理系に矛盾がないとしてそれを仮定して、非可測集合Sもルベーグ可測なることが数学的に正しい
と主張することになる。だが、一般には非可測集合Sはルベーグ可測でない。
ここで、最初の主張には数学的な矛盾が生じることになる。
非可測集合Sにもルベーグ測度による確率測度を入れる操作が数学的に正しいといいながら、
Sはルベーグ可測でないといっていることになる。数学的に確率を考えるには確率空間とその上で定義された確率測度が必要になる。
確率空間は可測集合に確率測度を入れた空間だから、2つの命題 P(ZF系) 、P(ルベーグ可測) が両方正しいとして、
命題Pが数学的に正しいと主張することにはムリがある。命題Pが数学的に正しいとすると数学的な矛盾が生じる。
147(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/03(木) 16:33:21.31 ID:bz3XB80i(2/5) AAS
>>146
>>143は
http://fuchino.ddo.jp/papers/tohoku-ws06-talk.pdf
を基にして書いたが、解釈が間違っているか？
148: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/03(木) 18:09:25.32 ID:bz3XB80i(3/5) AAS
まあ、>>147の pdf の「すべての実数の集合がルベーグ可測」は
「実数直線Rの任意の部分集合がルベーグ可測である」の意味だな。
そうでないなら、「実数全体の集合Rがルベーグ可測である」と解釈するしかないが、
そういう意味なら単にそう書けば済むし、余計な誤解を招くことはない。
「すべての実数の集合」が「「すべての実数」の集合」という意味なら、
「すべての実数の集合」の部分を普通の意味での記号「R」で表せばいいし、誤解を招くことがなくなる。
じゃ、おっちゃん寝る。
154: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/03(木) 19:05:50.90 ID:bz3XB80i(4/5) AAS
>>151
後出しになるが、>>143を書くときは
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf
も参考にした。
155: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/03(木) 19:07:59.63 ID:bz3XB80i(5/5) AAS
それじゃ、もういい加減に寝る。
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