[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28 [無断転載禁止]©2ch.net (106ﾚｽ)
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25(6): １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/02(月) 23:35:13.73 ID:VW7bBLUp(11/12) AAS
>>23
問題となるのは、>>15 のν(E_s)がsの関数として非可測かもしれないことから、
∫[R^N]{ν(E_s)}dμ(s) が計算できないかもしれないことだろう。
しかし、時枝氏やHart氏の証明から、すべての実数列sについてν(E_s)≧99/100 であるので、
通常の積分での測度を内測度に換えた内積分(inner integral)を考えると、その値は99/100以上。
これは何を意味しているかというと、大数の強法則で言うと、
無限回ゲームを試行したとき、プレーヤー２が勝つ頻度は収束しないかもしれないが、
下極限は99/100以上であることがほとんど確実ということ。
参考 https://arxiv.org/abs/1208.3187
"On the Law of Large Numbers for Nonmeasurable Identically Distributed Random Variables"
26(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/02(月) 23:46:15.07 ID:VW7bBLUp(12/12) AAS
>>25
もともと時枝氏やHart氏の証明は「すべての出題に確率99/100以上で当てれる」。
p1は出題の零集合で勝率0にしたとしても、それ以外同じなら積分は同じになるわけで、
「すべての出題に確率99/100以上で当てれる」の方が強いことを言っています。
なので、確率が定まった値にならなくても、確率99/100以上で当てれると言っていいように思います。
27(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/02(月) 23:48:55.98 ID:0caOih5s(13/13) AAS
>>24
> 「すべての出題に確率99/100以上で当てれる」というの自体は、有限集合の確率論でだせてるわけです。
>>25
> しかし、時枝氏やHart氏の証明から、すべての実数列sについてν(E_s)≧99/100 であるので、
これは直感的に明らか。
なのにまともに測度を計算しようとするとできない、という印象です。
問題を単純化します。
2つのr1,r2∈R^Nが独立同分布に選ばれるとする。決定番号dはr∈R^Nのみの関数。
r1の決定番号d(r1)がd(r2)以下である確率P(d(r1)≦d(r2))はいくつか？
という問題です。
d∈Nの性質から確率は1/2以上と即答したいところ。
しかし実際にはdが可測ではなく、事象d(r1)≦d(r2)を含む加法族で
確率空間を構成することはできないと思います。
この部分を測度論的確率論で説明可能と言うには、
やはりここでも内測度の議論が必要になるのではないでしょうか？
53: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/11(水) 00:57:47.42 ID:CY6uXv4N(1/2) AAS
> >>15でのプレーヤー２が勝つ事象Ｅは、GAME1、GAME-Aに共通です。
> つまり、s∈R^N, k∈Ｋが同じなら、勝ち負けは選ぶ順番に依りません。
> それでも勝ち負けの確率は選ぶ順番に依る。それがパラドクスであると私は思ってます。
確率は積分順序に依るというのはよく分かったのですが、
・人は直感的に、GAME-1では数字を当てられるがGAME-Aでは数字を当てられない、と思う
・GAME-Aでは確率が0となる、または外積分で小さく押えられる
の2点をみたさないと「なぜ人は数字を当てられないと思ってしまうのか？」
の説明にはなっていないと思うんですが、どうなんでしょう？
> 内積分という言葉を使ったせいで新しい確率論を使っていると誤解されたかもしれないですが…。
私にとっては非可測で計算できないはずのp1に確率解釈>>25を付けただけでも十分新しいですね・・
57(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/14(土) 07:53:43.89 ID:D7UVHEGb(2/3) AAS
>>52
> > 測度論を知らない人は「なんで確率p1≧99/100が言えないの？」と考えそうです。
>
> p1は実数値として確定しないってだけですね。
> 私はパラドクスに関与しないと思ってます。
下のような解釈ができるから、p1≧99/100が普通の確率論で言えないことが
プレーヤー2を勝たせている理由ではない、ということでしょうか。
しかし普通の確率論でp1≧99/100が言えないことと、
一見して必敗なゲームで論理的に勝ちと証明されることは、
どうにも不可分に結びついているような気がしてなりません（その証明はありませんがｗ）
> 事象ＦはGAME1の積分順序で確率99/100がきちんと言え、Ｅ⊃Ｆなのだから事象Ｅが起こるのはそれ以上。
こう言い切れるのは>>25の裏づけがあってこそ、ですよね。
直感的には集合の包含関係から"そうとしか思えない"のですが、
Eは通常の意味で確率空間の加法族に含めることはできないわけで、
Eの起こる"確率"は普通の確率論では議論できない。
>>25がポイントじゃないかなと思っています。
60(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/18(水) 22:14:23.40 ID:zBJJF2/c(1/2) AAS
>>56
> これはν(E_s)≧99/100のことを指していると考えてよかったでしょうか？
はい。
> ここでいう混合戦略とは（プレーヤー1を含まず）プレーヤー2の確率的選択のことを指している？
それを含めた戦略全体のことです。
>>57
> こう言い切れるのは>>25の裏づけがあってこそ、ですよね。
いえ、それは逆で、>>25が成り立つ論理が
> > 事象ＦはGAME1の積分順序で確率99/100がきちんと言え、Ｅ⊃Ｆなのだから事象Ｅが起こるのはそれ以上。
だと思ってます。
> 直感的には集合の包含関係から"そうとしか思えない"のですが、
確率のセマンティクスを頻度で与えるという普通の確率論の立場でもって、
(ⅰ) Ｅ⊃Ｆなので、事象Ｆが起こったなら事象Ｅが起こったことになる。
(ⅱ) よって、ｎ回試行をしたとき、事象Ｅが起こる頻度は事象Ｆが起こる頻度以上である。
(ⅲ) ｎ→∞としたとき、事象Ｆが起こる頻度はほとんど確実に収束し99/100(これが事象Ｆが起こる確率)であり、
事象Ｅが起こる頻度は収束しないかもしれないが下極限は(事象Ｆが起こる確率である)99/100以上である。
となります。別段新しい仮定や法則を取り入れてはないでしょう。
> Eの起こる"確率"は普通の確率論では議論できない。
Eの起こる"確率"を直接扱うことはできくても、間接的には扱える、という意見です。
62: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/18(水) 23:35:12.09 ID:zSv4C6dE(1/2) AAS
コメントありがとうございます。
>>60
> Eの起こる"確率"を直接扱うことはできくても、間接的には扱える、という意見です。
間接的にということですね。それについては理解しました。
> 確率のセマンティクスを頻度で与えるという普通の確率論の立場でもって、
> (ⅰ) Ｅ⊃Ｆなので、事象Ｆが起こったなら事象Ｅが起こったことになる。
> (ⅱ) よって、ｎ回試行をしたとき、事象Ｅが起こる頻度は事象Ｆが起こる頻度以上である。
> (ⅲ) ｎ→∞としたとき、事象Ｆが起こる頻度はほとんど確実に収束し99/100(これが事象Ｆが起こる確率)であり、
> 事象Ｅが起こる頻度は収束しないかもしれないが下極限は(事象Ｆが起こる確率である)99/100以上である。
> となります。別段新しい仮定や法則を取り入れてはないでしょう。
私の"普通"はレベルが低いので、"事象E"と言ったら"(普通の)確率事象E"のことで、
Eが可測であることを仮定として含んでいます。
（"普通"とは何かを不毛に争いたいわけではないです。）
そういうわけで私の感覚では下記のコメントに？？となってしまいました。
私の感覚ではEは"普通"の事象ではないからです。
> >>57
> > こう言い切れるのは>>25の裏づけがあってこそ、ですよね。
>
> いえ、それは逆で、>>25が成り立つ論理が
> > > 事象ＦはGAME1の積分順序で確率99/100がきちんと言え、Ｅ⊃Ｆなのだから事象Ｅが起こるのはそれ以上。
> だと思ってます。
Eを拡張的な事象として扱う裏づけが必要であると考えています。
それが>>25だと私は考えたのでした。
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