[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net (718ﾚｽ)
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41(5): １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:04:40.01 ID:AaUSB/SH(2/6) AAS
>>3-4
(>>39の続き)
>「さて本題に戻るが」, 但し「ここでは」もっときびしい同値関係を使う. 実数列の集合 R^Nを考える.
>s＝(s_1, s_2, s_3, …)，s'＝(s'_1, s'_2, s'_3,…)∈R^Nは，ある番号nから
>先のしっぽ「いわゆる第n項」が一致する. 「換言すれば」∃n_0：n≧n_0 → s_n＝s'_n のとき,
>同値「関係〜を」s〜s' と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
>「ここに, 任意の, 或る実数rに収束する有理コーシー列 {r_n},{s_n}∈X(r)⊂X について,
>或る番号n_0が存在して, n≧n_0 のとき s_n＝s'_n なることに注意しよう.」
>念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致する
>なら，sとs"は2015番目から先一致する. 〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び,
>代表系を袋に蓄えておく. 幾何的には商射影 R^N → R^N/〜の切断を選んだことになる.
>「換言すると次のようになる. 商射影 R^N → R^N/〜 をfとする.
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である. 実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. すると, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である. rに収束するコーシー列の全体を X(r) とする. すると, X(r)⊂R^N/〜 であり,
>X(r) は同値関係〜による商集合として扱える. X(r) を同値関係〜による商集合と見なすと,
>rは商集合 X(r) の代表元として扱える. rは {x_n} に対して定まったから,
>これはコーシー列 {x_n} を商集合 X(r) の代表元として扱うことと同じである.
42(2): １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:05:54.42 ID:AaUSB/SH(3/6) AAS
>>3-4
(>>41の続き)
>そこで, {x_n} を商集合 X(r) の代表元とする. すると, rに対して, rに収束する実数列を考えることで,
>f({r_n})＝{x_n} なるような実数列 {r_n}∈R^N の全体を考えることが出来る.
>そこで, {x_n} に対して f({r_n})＝{x_n} なる実数列 {r_n}∈R^N の全体を f^{-1}({x_n}) とする.
>このようにして f^{-1}({x_n}) を構成することは, 任意の実数列 {x_n}∈R^N/〜 に対して出来る.
>そのようなことに注意して, R^N に選択公理を適用し, R^N のすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>R^N/〜 のすべての元についても同様に選択公理を適用し, そのすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>すると, 直積 R^N×R^N/〜 を xy平面のような平面と見なせる. このような平面上で, x軸に平行な複数の,
>y軸に垂直であるような点線を引くような, 操作を行うことである.
>これが, 代表系を袋に蓄えておくことの, 大体の幾何的な意味である.」
>任意の実数列 s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表
>「としてのコーシー列」 r＝r(s) を丁度一つ取り出せる訳だ. sとrとがそこから先ずっと一致する番号
>を sの決定番号 と呼び，d＝d(s) と記す. つまり「sの部分列」 s_d，s_{d+1}，s_{d+2}, … を知れば
>「これは無限列だから,」 sの類の代表r は決められる. 更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても,
>ある D≧d について「sの部分列」 s_{D+1}, s_{D+2}, s_{D+3}, … が知らされたとするならば,
>「同様にこれも無限列だから,」それだけの情報で既に「コーシー列」 r＝r(s)は取り出せる.
>したがって「sの決定番号」 d＝d(s) も決まり, 結局s_d(実は s_d, s_{d+1}, …, s_D ごっそり)が決められる
>ことに注意しよう.
46: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:24:43.64 ID:AaUSB/SH(6/6) AAS
>>3-4
一応、>>39、>>41-42、>>44-45は、記事の内容を「」や()で
或る程度補足したので、スレ主でも分かるようになっている筈だ。
「」や()は、補ったところ。本当は、こういうときこそ、スレ主の
いつもながらのグーグルグーグルって検索しまくる手法が活躍するときなんだよ。
例えば、何らかのサイトがある筈だから、カントールの実数論とか数セミに
出てくるであろう言葉をググってみ。
それじゃ、補足作業で疲れたから、もうおっちゃん寝る。
66(1): １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/17(日) 14:38:09.57 ID:lkgsK6Kl(1/5) AAS
>>62
>>41の
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
は間違いで、この部分は
>fは 始集合R^N から 値域R^N/〜 への対応である。
>fの定義域は、コーシー列全体の集合D である。
>任意の {x_n}∈D に対して、g({x_n})＝f({x_n}) であるような、
>写像g：D → R^N/〜 は全射である。
と訂正。簡単には、
>任意の {y_n}∈R^N/〜 に対して、或る {x_n}∈R^N が存在して、{y_n}＝f({x_n})。
と訂正。あと、>>45の一番最後の行の()内の「ε＞99/100 」は「0＜ε≦1/2」と訂正。つまり、最後の行は
>(0＜ε≦1/2 のときは, 同様の賭けごとに)確率 1-ε で勝てることも明らかであろう.
と訂正。
68(3): １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/17(日) 15:23:03.61 ID:lkgsK6Kl(2/5) AAS
>>67
あ〜、そうか。
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
の部分は取り消しで、その直後(>>41)の
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る.
の部分で「{x_n}が収束する」ことが仮定されるのか。
74: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/17(日) 16:08:17.61 ID:lkgsK6Kl(5/5) AAS
>>72
>>41では
>>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
が取り消しになり、
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. すると, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である.
の部分が
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. 「{x_n}が収束するときは」, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である.
となるのか。
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