[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net (718ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
613(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 00:14:23.81 ID:tEqEfy29(1/18) AAS
>>607 ”well defined”続き
もう少し掘り下げてみよう
>>3で、数列のしっぽでなく、先頭の箱の数字を使って同値関係、商集合を決めるなら、すっきりしている
例えば、先頭の箱の数字を使った同値関係なら、最初の二つの箱を使った同値関係という決め方は可能だ
しかし、最初の二つの箱を使った同値類に、例えば最初の三つの箱を使った同値類を、混在させることはできない
（∵最初の三つの箱を使った同値類は、最初の二つの箱を使ったどれかの同値類にも必ず属することになり、”well defined”ではなくなる）
同じ理由で、「最初の二つの箱を使った同値類」と定義すれば、そこに他の数の箱の同値類の議論を混在させることは御法度だ
そう考えると、先頭の数字を使った同値関係なら、「最初のａ個の箱を使った同値類」というように個数ａを指定すべきだろう
ａの指定が無ければ、任意性を排除するために、ａ＝１と考えるのが自然だ。が、個数ａの任意指定を可とすれば、個数ａ＝１に必ずしも数学的必然性はない
ところで、>>607で書いたように、数列の長さｎが有限であれば、しっぽによる同値関係も、先頭の数字による同値関係も、数学的扱いに大きな差はない
そこで、上記を踏まえると、数列の長さｎ→∞として、>>3のような数列のしっぽの同値類分類を考えるというのは、ちょっと怪しい雰囲気だよね
有限の場合なら、「最後のａ個の箱を使った同値類」が考えられる。が、数列の長さｎ→∞の極限でどうなるか。ａの指定が無ければ、任意性を排除するために、ａ＝１と考えるのが自然だが
そして、ａ＝１でも、ちょっと怪しい雰囲気だよね
614: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 00:53:13.86 ID:tEqEfy29(2/18) AAS
>>559-560 補足
>>176数学セミナー201511月号P37 時枝記事引用の前に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
ルベーグと聞いて思い出したところで、ルベーグ測度論に、零集合がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
可測集合 S が μ (S ) = 0 であるとき零集合 (null set ) という。
ディリクレの関数（有理数Qのみで1,それ以外ではゼロを取る関数）で、ルベーグ積分 0
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。
略
ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。
（ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Q はルベーグ測度に関して零集合であることによる）
（引用おわり）
で、言いたいことは、>>559-560 での問題A6だ
問題A6:箱が可算無限個、N=mxnでn→∞。とすると 決定番号も→∞になる
いや、もちろん、例外として決定番号が有限になる場合もあるよ。だが、それは零集合 (null set )だ。”実数R全体 vs 有理数Q全体” のごとし。確率で言えばゼロ！
622(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 08:48:00.70 ID:tEqEfy29(3/18) AAS
>>619
どうも。スレ主です。
なんだ、そこで騙されていたのか？
>>134は、”期待値”としての決定番号Ｄを言っている。
なぜなら、時枝記事は、ルーマニア解法として、可算無限長の数列のしっぽによる同値類分類による解法を提示した。
これは、特定の場合に成り立つ解法としてでなく、一般解法としての提示だ。
だから、>>559-560に、数列の長さｎの有限モデルから、ｎ→∞として、”期待値”としての決定番号Ｄが、Ｄ→∞を示した。
一方、>>137の背理法の「有限の値でないと仮定すると、その元はどこまでいっても代表元と一致しない」という主張は、確かに一つの特定の元を取ればそうだろう
しかし、その有限の決定番号がｄとして、一方類別された集合の元は、可算無限あるから、常にｄより大きな元、例えばｄ＜Ｄとできる元が存在する
再び強調すれば、そのような元（ｄ＜Ｄとできる）は、常に可算無限個存在する
∴”期待値”としての決定番号Ｄは、Ｄ→∞
623(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 08:48:48.41 ID:tEqEfy29(4/18) AAS
>>622
ところで、>>559-560に示したモデルに対して、あなたは、別のモデルも可能だと>>562を書いた
>>562に対しては、>>569で ID:oT//FcJnさんから、「貴方は貴方で支離滅裂。」と批判されていたね
>>562は、いまでも有効なのか？ それとも取り下げたのか？
そして、>>562に書いた「スレ主は最初から数当てが不可能な数列のみを考えている」という>>559-560に対する批判はそれだけか？
「スレ主は最初から数当てが不可能な数列のみを考えている」というのは、随分と文学的だ
数学的批判は、無いのか？
数学のモデルとして、>>559-560に示したモデルと>>562のあなたのとは、並立可能なのか？
624(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 08:49:35.13 ID:tEqEfy29(5/18) AAS
>>623 補足
>>559で書いたように、時枝のいうルーマニア解法に対する批判は、可算無限長の数列のしっぽによる同値類分類は、「"(1)無限を直接扱う，"というトリックをやっている」と
つまり、あなたが>>615で書いた、時枝は「同値関係（推移律）は記事のp.36でハッキリと証明済」という件は、"(1)無限を直接扱う，"というトリックの上でだ
>>559-560に示したモデルでも、長さ有限の場合に、同値関係（推移律）はきちんと成り立っている。そして、n→∞の極限を考えている
そのモデルの上で、ルーマニア解法が一般解法（特定の場合に限定されない）としてどうかと。期待値としてＤ→∞を示した。
批判のキモは、「"(1)無限を直接扱う，"というトリックをやっている」のはルーマニア解法だと
そして繰り返す。>>559-560に示したモデルに対して数学的批判（数学的に不成立とか）はないのか？ >>562は取り下げたのか？
あなたが成すべきことは、時枝が記事に書いた「(2)有限の極限として間接に扱う」の方針に沿って、ルーマニア解法を有限モデルからの極限として説明すること
もし、それが出来ないなら、「"(1)無限を直接扱う，"というトリックをやっている」のはルーマニア解法だという主張は成立すると思うよ
625: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 08:51:53.71 ID:tEqEfy29(6/18) AAS
>>612
>>> 問題Bにおいて時枝の戦略が成り立つことを、お前は認めるのか？
No
∵>>622-624
627: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 10:32:45.49 ID:tEqEfy29(7/18) AAS
>>615
どうも。スレ主です。
>スレ主が>>607や>>613で"怪しい"とか"well-definedでない"などと
>主張している同値関係（推移律）は記事のp.36でハッキリと証明済なのである。
ここも批判しておこう
季節は５月。新入生や、大２、３回の進級生もいるから
確かに、同値関係の推移律は、p.36で証明済。そして、反射律や対称律は自明である。その話は、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82 >>600 にある通り
が、”well defined”は、それだけで満たされるものではない https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined >>14
つまり、ある集合に対し、同値の取り方は複数考えられる。それについては、>>607で書いた
例えば、複数考えられる同値類のどれを選択するか。それは、解く問題によって変わるべき
分かり易い例で、小学生の身長と体重の調査をしたとする。それを類別するに、
１．男女で分ける
２．学年で分ける
３．生まれ月で分ける
などが考えられるだろう
普通、なにか意味ある調査結果をまとめたいと思うなら、さらに
４．（男女）ｘ（学年別）あるいは、
５．（男女）ｘ（学年別）ｘ（生まれ月）
と細かく類別するだろう
上記１〜５すべて、推移律が成り立ち、数学的にも同値関係として正しい
が、もし３の生まれ月の類別だけで、身長と体重の平均値や分布を見せられたら？ 「その意味は？」「学年別には？」「男女で分けてないのか？」とつっこむのが普通だろう
（∵ 男女の比率が１対１でないとか、ある月の生徒に低学年が多いとか、偏りをチェックしておかないとまずいから）
つまり、”複数考えられる同値類のどれを選択するか？ それは、解く問題によって変わるべき”だと
そして、問題の可算数列のしっぽによる同値類の分類が、果たして、問題を解く手法として"well-definedか”どうかについては、推移律の証明だけでは不十分だよ
季節は５月。新入生や、大２、３回の進級生もいるので、重ねて強調しておく
629(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 10:53:15.83 ID:tEqEfy29(9/18) AAS
>>623で、「数学のモデルとして、>>559-560に示したモデルと>>562のあなたのとは、並立可能なのか？」と問うた
「数学基礎論」の示すところ、無限を扱うとき、公理系の選び方で、「特定の公理系では証明も反証もできない問題が数多く見いだされた」という（例えば下記）
だから、並立可能なのかも知れない。が、反論はあなたの番だよ。
>>559-560に示したモデルを（数学的に）否定するか、>>562を守るか、別の有限モデルからの極限として時枝解法を示すか
数学的には、３択問題と思うがどうよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96
数学基礎論
ヒルベルトは、数学を記号によるゲームとみなして無矛盾性を証明する形式主義によるヒルベルト・プログラムを提唱したが、ゲーデルの不完全性定理によって、その実現の不可能性が示された。
また、数論を展開するのに十分な体系に見えるペアノの公理系では証明できないグッドスタインの定理など、特定の公理系では証明も反証もできない問題が数多く見いだされた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%83%E3%83%89%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
グッドスタインの定理（グッドスタインのていり、Goodstein's theorem）は、数理論理学における自然数に関する命題であり、「全てのグッドスタイン数列は必ず0で終わる」という主張。
ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。
たとえばゲーデルの不完全性定理から導かれる決定不能な命題などは、いかにも不自然だったり人工的に見えたりする場合があるのに対し、この定理は「自然な」決定不能命題の例として知られる。
(抜粋引用おわり)
633(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 11:55:15.71 ID:tEqEfy29(10/18) AAS
さて、計算複雑性の切り口で、時枝問題を見てみよう
「理論上計算可能な問題であっても、実際に解くことができない問題を intractable（手に負えない、処理しにくい） であるという。」というそうだ（下記）
「加算無限個の箱に入る実数の数列、それをすべてしっぽで同値類に分類し、代表元を決めておく」と、ルーマニア解法はいう
この同値類の集合は、非加算無限ある（∵箱が１つとしても、その箱に入るのは任意の実数だから、非加算無限ある）
となれば、「加算無限個の箱に入る実数の数列、それをすべてしっぽで同値類に分類し、代表元を決めておく」という前処理自身が、intractableでは？
前処理自身が、intractableであるとすれば、ルーマニア解法は現実的解法としては、使えない
ただし、「理論上計算可能な問題」か否かは残る。
「理論上計算可能な問題」か否かについては、>>559-560で示した通り、私の意見は否
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E8%A4%87%E9%9B%91%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
計算複雑性理論
理論上計算可能な問題であっても、実際に解くことができない問題を intractable（手に負えない、処理しにくい） であるという。
「実際に」解けるとはどういうことかという問題もあるが、多項式時間の解法がある問題が一般に（小さな入力だけでなく）解けるとされている。
intractable な問題として知られているものとしては、EXPTIME完全な問題がある。
指数関数時間の解法がなぜ実際には使えないかを考えるため、2^n 回の操作を必要とする問題を考える（n は入力のサイズである）。
比較的小さな入力数 n = 100 のときについて、1秒間に 10^10 （10 ギガ）回命令を実行できる計算機を想定すると、その問題を解くには約 4*1012 年かかる。
これは現在の宇宙の年齢よりも長い。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
計算可能性は計算複雑性の特殊なものともいえるが、ふつう複雑性理論といえば計算可能関数のうち計算資源を制限して解ける問題を対象とするのに対し、計算可能性理論は、計算可能関数またはより大きな問題クラスを主に扱う。
643: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 17:45:30.94 ID:tEqEfy29(15/18) AAS
>>641
どうも。スレ主です。
面白いね GJ！
考えてみるよ（＾＾
645(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 17:57:53.01 ID:tEqEfy29(16/18) AAS
>>641
どうも。スレ主です。
考えてみた
が、「数学における正規数（せいきすう、normal number）とは、無限小数表示において数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質を持つ実数である。」とあるよね
また、「正規数であることが判明している具体的な数は非常に限られている。例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数はそれぞれ正規数だと信じられているが、その通りか否かは未だ謎である。」とも
一方、時枝記事P36冒頭では、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.」とある
だから、時枝記事では「どんな実数を入れるかはまったく自由」であって、正規数の「無限小数表示において数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質」は、保証できないと思うけど、どうよ
651(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 21:44:25.08 ID:tEqEfy29(18/18) AAS
同値類ね〜
>>560に戻ろうか
”問題A4:箱が六個”を考えてみよう。m=2,n=3とできる。2列で、列の長さ3。列の長さ3の数列を類別し、代表元を決めておく。
s = (s1，s2，s3 ），s'=(s'1， s'2， s'3 )∈ R^3
この場合、
１）先頭から３番目、つまりs3をしっぽと見て、同値類を考えることができる。
つまり、s = (s1，s2，s3 ），s'=(s'1， s'2， s3 ) のとき、s 〜 s' （∵ s3 が一致）
時枝にならって、推移律を見よう。s' 〜 s''のとき、s''=(s''1， s''2， s3 ) となるから（∵ s3 が一致）
s 〜 s''となり、推移律成立。この場合 n0＝３
２）同様に、先頭から２番目、つまりs2，s3をしっぽと見て、同値類を考えることができる。
つまり、s = (s1，s2，s3 ），s'=(s'1， s2， s3 ) のとき、s 〜 s' （∵ s2，s3 が一致）
時枝にならって、推移律を見よう。s' 〜 s''のとき、s''=(s''1， s2， s3 ) となるから（∵ s2，s3 が一致）
s 〜 s''となり、推移律成立。この場合 n0＝２
３）つまり、列の長さ3の数列を類別するとき、上記のように、n0＝３と、n0＝２の二つの類別が考えられる
４）しかし、n0＝３とn0＝２の二つの類別を混在させることはできない。
∵例えば、s = (s1，s2，s3 ）は、二つの同値類( x， y， s3 )にも、( x，s2， s3 )にも属するから（但し、x， y，は任意の数を表す）
さて、
Ａ）列の長さnの数列を類別するとき、同様に、n0＝２ 〜 n とする類別が考えられる
推移律が成り立つことは、上記同様に示せる。また、上記同様に、二つ以上の類別を混在させることはできない。
∵一つの集合の元が、複数の同値類に属することになり、同値類別が一意にならない
Ｂ）列の長さnにつき、極限として、n→∞（可算）を考えることができる
この場合、n0を任意の整数に選ぶことができるだろう。しかし、Ａ）と同様に、二つ以上の類別を混在させることはできない。
おかしいですか？
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ ｱﾎﾞﾝOFF
ぬこの手 ぬこTOP 0.040s