[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net (718ﾚｽ)
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8(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 00:02:24.19 ID:Y3KfUbj9(1/21) AAS
さて、π＝３．１４・・・・を使って、頭から一桁の数字を、問題の箱に詰めることにしよう
・この数列は、Z<1>^Nに属する
・私が、あなたに、「箱には、πを使って、各１桁の数字を入れた」と宣言しよう
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<n>^Nから選ぶべき
・が、整数列Z^Nから同値類と代表元を選べば、代表元には一桁以外の無数の整数が含まれるから、当たる確率は減る
・詳しく書けば・・、例えば、数列が２列だったとする
・１列目の決定番号がDとする
・２列目で、D＋１番目より先の箱を開け、同値類と代表を取り出す
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
・しかし、もし桁数無制限の整数列Z^Nから同値類を選んだら？ 代表には一桁以外の整数が含まれるから、Dは１桁の数字に限られず、当たらなくなる
・もし、有理数列Q^Nから同値類を選んだら？ ますます当たらない。実数列R^Nならますますだ
・ここで、気付く
・条件が同じであれば、１００列だったら1/100。２列だったら、1/2。それは当然だが
・しかし、上で見たように、「箱には、πを使って、各１桁の数字を入れた」と分かっているなら、実数列R^Nの同値類は使うべきでなく、使うべきはZ<1>^Nの同値類なのだ
9(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 00:27:16.62 ID:Y3KfUbj9(2/21) AAS
（お断り）
>>6-8では、正の数に限定しています。（負の数でも可だが、負の数を除いても、本質は同じだから）
さて私は、前スレ>>713で、箱に電話番号を入れることを提案した
・簡単のために、１０桁の整数を入れるとしよう
・数列は、>>6の記号でZ<10>^Nに属する
・もし、>>8と同じように、あなたに、「箱には、電話番号を使って、各１０桁の数字を入れた」と宣言しよう
（例えば、簡単に東京の03-xxxx-yyyyで、0を1に置き換えて、13-xxxx-yyyyとすれば良い）
・お分かりのように、もし、それを聞いたあなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<10>^Nから選ぶべき
・もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
・さて、時枝理論の1/100や1/2を思い出そう
・Z<10>^Nから同値類を選ぼうが、R^Nから選ぼうが、各列の条件は同じだから、1/100なり1/2なりは不変。それは正しい
・でも、上記の通り的中確率は変わっている＊）
・だから、ここがマジックだと
＊）１０桁の整数になれば、的中の確率は、1/100さえありえない
が、各列の条件が同じだから、ある列が１００列中１番になる確率は1/100であることは不変で、正しい。R^NであろうがZ^NであろうがZ<10>^Nであろうが
では
12(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 07:06:42.05 ID:Y3KfUbj9(3/21) AAS
>>2-4 ここで引用した時枝解法は、数学セミナー201511月号P36 時枝正「箱入り無数目」の記事からだ
さて、>>4の時枝解法をいくつかのプロセスに分けてみよう
１．箱を100列に並べる
２．列を一つ選ぶ。第k列とする。
３．第k列以外の箱を開け、各列の決定番号を決める。その最大値をDとする
４．第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
５．開けた箱から、>>3に記載された方法で、実数列の集合 R^Nの同値類を決める
６．ここで、第k列の属する同値類の代表r＝r(S^k)が決まる。が、まだ袋の中で取り出していないとする
７．代表を袋から取り出す。ここで、二つの場合に分かれる。1) D >= d(S^k)か、2) D ＜ d(S^k)か
８．2)の D ＜ d(S^k)の場合、d(S^k)は具体的な数として確定する。1) のD >= d(S^k)の場合は、d(S^k)は未確定。全ての箱を開けて、確定する
９．時枝は、1) のD >= d(S^k)である確率は、99/100だと主張する。そして、1)に賭けてS^k(D)＝r(D)だという
ここで、Dが他の99列の最大値ということを一旦忘れて、ともかくなにかの方法でDが決まったとする
そして、第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開け、同値類を決める。代表の入った袋が分かる
上記７で二つの場合、1) D >= d(S^k)か、2) D ＜ d(S^k)か
ここで、第k列の決定番号d(S^k)の取り得る範囲を、冷静に考えてみると、可算無限の数列を考えているから、その範囲は１〜∞
だから、Dが小さな値であれば1) のD >= d(S^k)である確率は小さく、Dが大きな値であれば1) のD >= d(S^k)である確率は大きい
つまりは、この場合においては、1) のD >= d(S^k)である確率は、Dの大小によるということが分かる
では、Dの決め方が、他の99列の最大値であったら？
上記の議論は、Dの決め方には、何の制約も無い。だから、Dの決め方が、他の99列の最大値であったとしても、成り立つ
だから、Dに依存せずに、「確率は、99/100」とは言えない。
全てのDを考えて、平均を取れば、99/100だろう
（時枝トリック）
14(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 07:54:10.66 ID:Y3KfUbj9(4/21) AAS
>>12の時枝解法のプロセスを別の視点から見てみよう
１．Dを決める。第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
２．(D+1) 番目から先の箱だけで、同値類と袋内の代表r＝r(S^k)が決まる（最終的には、全ての箱を開けて、決定番号 d(S^k)が確定する）
３．D >= d(S^k)に賭ける。つまり、S^k(D)＝r(D)に賭ける
４．袋内の代表r＝r(S^k)を取り出し、全ての箱を開けて決定番号 d(S^k)が確定し、賭けの勝敗が決まる
５．簡単に言えば、(D+1) 番目から先の箱だけで、D番目の箱を決める方法だが
６．時枝は、商集合だ射影だという。が、それ、well-defined？
７．推移律だけチェックしました（>>3「sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する」と）
８．そんなチェックだけで・・・？
９． well-defined の定義：「定義で使われる方法が実際にうまくいく」は、示されていないだろう？ https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
（時枝トリック）
15(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 07:58:04.96 ID:Y3KfUbj9(5/21) AAS
一旦まとめよう
１．>>12で示したように、無条件で「確率は、99/100」とは言えない。Dに依存する。そして、Dの範囲は１〜∞
２．>>8-9で示したように、時枝解法は、箱に入れる数によって、適切な集合と、その集合から成る数列を使って、同値類と代表を決めなければならない
例えば、１桁の整数を入れたのに、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１桁の整数が出る理屈がない）
３．>>14で示したように、商集合だ射影だという。が、それがこの問題に対して、well-defined （「定義で使われる方法が実際にうまくいく」）かどうかは、数学的には証明されてないと思うよ
４．だから、上記３つの要因から分かることは、時枝解法はあくまでトリック
16: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 07:59:16.01 ID:Y3KfUbj9(6/21) AAS
>>13
どうも。スレ主です。
レスありがとう
分かった。自然数全体を1〜∞と書く事に対して、代案を出してほしい
17(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 08:05:15.40 ID:Y3KfUbj9(7/21) AAS
>>10
どうも。スレ主です。
レスありがとう
> 1桁の数字を各箱に入れたと分かっていながら、どうしてn桁の整数の列Z<n>^Nを考えるんだ？
ご指摘ありがとう
>>8 訂正
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<n>^Nから選ぶべき
↓
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<1>^Nから選ぶべき
> ・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
ご指摘ありがとう
>>8 訂正
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
↓
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、D番目の数は１桁の数字だから、確率は1/9
18: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 08:16:23.91 ID:Y3KfUbj9(8/21) AAS
>>11
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>6-9は、一貫校の秀才中学生にも分かるように、新たに書き下ろした
（基礎となる時枝解法も>>2-4に引用して）
従って、例も新しく追加した（分かり易い例として）
が、主張は、終始一貫している。時枝トリック
時枝トリックの謎解きは、確かに紆余曲折したと思う
だから、>>6-9と>>12-15を見て貰えれば。数学的な内容は、前スレの後半からは変わっていない
19(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 08:45:53.53 ID:Y3KfUbj9(9/21) AAS
つづき
>>11
>何十回も同じことを言っている気がするが、時枝の戦略はそのような確率を扱わない。
>『箱の中身が属するZ<10>^Nの類を、R^Nの同値類から正しく選べるかどうかは確率的に決まる。その確率はほぼゼロである』
>スレ主はこのようなことを主張しているのだろう。
>しかしR^Nの同値関係~に矛盾がなければ、
>ある実数列（あるいは整数列）がR^N/~のどれに属するかは
>同値類への自然な射影R^N→R^N/~により自然に決まるのであって
>スレ主が言うように確率的に類が選ばれるのではない。
それは言えないだろ
時枝は、「念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.」>>3
という。だから、sとs'とs"と、少なくとも、この３つは、代表候補であり、sとs'とs"と、どれを代表にしようが、定義には矛盾しない
で、代表候補は３つに限らない。s,s',s",・・・と基本は無限にある（考えている集合がR^Nだから。（ここは、Z^Nでも同じ））
（念のため時枝引用「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>3）
そして、（>>6の記号で）
当然ながら、
実数の集合R⊃有理数の集合Q⊃整数の集合Z
実数列の集合 R^N⊃有理数列の集合 Q^N⊃整数列の集合 Z^N
で、整数列の集合 Z^Nで、同値類を決めて、代表を決める。それはR^Nにも含まれる
が、逆は言えない。R^Nで、しっぽの先が全て整数の数列があるとして、ねもとは、整数とは限らないから。だから、代表はZ^Nに属するとは言えないだろ
だから、自然な射影というところが、数学的には不適切だと思う
だから、ねもとまで整数と分かっている数列なら、Z^Nを使う方がR^Nを使うより圧倒的に有利（自然に決まるとは言えない）
20: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 08:51:58.46 ID:Y3KfUbj9(10/21) AAS
おっと、訂正
>>6
実数の集合R、有利数の集合Q、整数の集合Z
実数列の集合 R^Nにならって、有利数列の集合 Q^N、整数列の集合 Z^N
↓
有利数：有理数
21(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 09:03:30.20 ID:Y3KfUbj9(11/21) AAS
つづき
>>11
>スレ主の論理の拠り所を俺は否定した。
>俺の言うことを認めるのか？認められないのか。
>認められないなら何が認められないのか、
>イチイチ別の例を出さずに直接的に答えろ。
私は、>>19で
>ある実数列（あるいは整数列）がR^N/~のどれに属するかは
>同値類への自然な射影R^N→R^N/~により自然に決まるのであって
について、数学的に反論した。自然な射影で、自然に決まるに反論した
つまり、いま問題にしているのは、同値類そのものではなく、同値類の代表なのだ。そして、代表から決定番号が決まるのだ
代表が、正数列（∈ Z^N）か、実数列（∈ R^N）か
解法の正否（正答確率）に決定的な影響を与える
私の答えは、それで十分だろう
では
25(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 13:22:07.82 ID:Y3KfUbj9(12/21) AAS
>>22-24
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>22
>> もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
>というスレ主の主張に対して
>『時枝の戦略はそのような確率を扱っていない』
>と反論している。
>箱の中身がR^NだろうがZ^Nだろうが、全体集合をR^Nに取って~による類別を考えればよいと主張している。
そこまで時枝解法を擁護するなら、>>8で設定した「π＝３．１４・・・・を使って、頭から一桁の数字を、問題の箱に詰める」で、時枝解法を実行してみて下さい
問題を簡単にして、円周率（百万桁）を使おう。これが右サイトにある http://www.geocities.jp/f9305710/PAI1000000.html
まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。提案として、簡単に２列としよう
１列目に、百万桁の奇数番目の数、その先のしっぽには、全て１をつめる
２列目に、百万桁の偶数番目の数、その先のしっぽには、全て２をつめる
まず、１列目を開けて、どの類に属するか決めて下さい。そして、代表を取り出して下さい。決定番号Dを教えて下さい
そして、２列目D+1から先の箱を開けて下さい。それで、２列目の属する同値類を教えてださい。代表rを取り出して下さい。代表rのD番目の箱の数を教えて下さい
26: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 13:22:24.73 ID:Y3KfUbj9(13/21) AAS
でも、実行できないでしょ？
実行できるはずがない
だって、トリックだもの
実行できない時枝解法。だから一見最もらしいと言える
27: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 13:22:44.68 ID:Y3KfUbj9(14/21) AAS
問題を単純化しずぎ？
じゃ、３列でも結構。もっと多く１００列でもどうぞ
箱百万個、３列。頭からmod３で、列を作って３列。しっぽの先は、１列目１、２列目２、３列目３を詰める
１００列なら、頭からmod 100で、列を作れば100列。しっぽの先は、１列目１、２列目２、３列目３、・・・、100列目100を詰める
１００列の場合、”一桁の数字を、問題の箱に詰める”を守っていない。が、”頭から３桁以内の数字を、問題の箱に詰める”に変えれば、数学的には成り立つ
28(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 13:24:08.06 ID:Y3KfUbj9(15/21) AAS
まだまだ、簡単化しすぎで、時枝解法に合わない？
じゃ、頭からmod３や、mod 100やめます。すきにランダムに並べ貰って結構だ。どうぞ
？ １列目１、２列目２、３列目３、・・・、100列目100が気に食わない？ なら、しっぽはお任せします。ご随意に
ともかく、円周率（百万桁）を使ってください・・・
？ それも気に食わない？ なら、自分で分かり易い時枝解法の例題を作って、適用法を示して下さい
例はなんでも良いです。但し、具体的数値でね。文字は使わずに
中学生が混乱しない具体例の説明願います
でも、具体例の実行できないでしょ？
実行できるはずがない
だって、トリックだもの
実行できない時枝解法。だから一見最もらしいと言える
29: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 13:29:36.41 ID:Y3KfUbj9(16/21) AAS
>>25 訂正
まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。
↓
まず、箱に円周率（百万桁）を詰めましょう。
47(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 18:02:22.60 ID:Y3KfUbj9(17/21) AAS
>>30-38
TAさん、どうも。スレ主です。
具体例の例示ありがとう。
TAさんが、まじめで誠実な人だというのは良く分かった
他の人がレスついているので、しばらく様子見します
ID:lxzcZorRさん、レスありがとう
おれは、ID:lxzcZorRさん乗りだが、しっかりしているので、助力は不要でしょう
あなたの疑問点を書いて貰えれば、解決は近いと思う
48: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 18:10:39.45 ID:Y3KfUbj9(18/21) AAS
>>2 訂正
１．時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）
↓
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
50(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 18:16:56.41 ID:Y3KfUbj9(19/21) AAS
>>39-46 （除く40,43）
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつものおっちゃんらしい、読みにくいカキコですね（＾＾；
でも、ありがとう
一言、>>2-4は、（分かっていると思うが）単に、数学セミナー201511月号P36 時枝正「箱入り無数目」の記事の引用だ>>12
（数学記号をアスキーベースに直すのに苦労したがね）
聞きたいのは、
１．時枝の解法を使った>>30をどう思うかだよ
２．TAさんに何か言ってやんなよ
（そこまで補足付けてくれたなら、何か言えるだろう？）
３．>>30に賛成するもよし、問題点を指摘するもよし
４．どちらにせよ、その方が決着は早いと思う
52(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 18:45:43.64 ID:Y3KfUbj9(20/21) AAS
>>49
どうも。スレ主です。
コメントありがとう
要は、時枝問題は、無限集合を使ったゲームのトリックというエールを貰ったのかな？（＾＾；
ともかく、Terence Taoがコメントしている話は、どこかで読んだかも知れない
100人の囚人が、自分の帽子の色を言い当てると、釈放されるが、その上手い方法や如何にと・・・
日本語の記事が、検索でヒットするかも
えーと ”100人の囚人 自分の帽子の色 放”で下記ヒットか
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論理的に答えてください
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更新日: 2015年05月26日
問題２ "帽子の色は？"
100人の処刑囚がいます。
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囚人と帽子 [楽しいクイズの発信基地！クイズ大陸]: ひでぽん 2005/04/12 19:44
53: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/01/16(土) 19:09:52.80 ID:Y3KfUbj9(21/21) AAS
補足
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1249042962
1,2,3,‥,n,‥と番号つけられた無限人の囚人がいるとします。彼らは... - Yahoo!知恵袋: 2010/10/21
(抜粋)
ベストアンサーに選ばれた回答
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gang_gang_dankichiさん
編集あり2010/10/2312:39:35
Prisoners and hats puzzleと呼ばれる有名問題のようですね。
http://en.wikipedia.org/wiki/Prisoners_and_hats_puzzle#Countably_Infinite-Hat_Solution
wikipedia に書いてあるものと問題の設定に少し違いがありますが、wikipediaに掲載されている以下の作戦であれば質問の設定でも通用すると思われます。
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