[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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91(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 08:25:43.32 ID:AbOcHf9K(4/9) AAS
>>90 つづき
実数の集合の性質から抽出された、ハウスドルフという性質（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
定義
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
Xを位相空間とする。X上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = O であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
（引用おわり）
これは、”任意の相違なる2点”なのだ
だから、もちろん「有限個の」点を開近傍で分離できる
しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
ここらは、基礎論的かつ厳密には、選択公理と超限帰納法を使うのだろうが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95#.E8.B6.85.E9.99.90.E5.B8.B0.E7.B4.8D.E6.B3.95
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
つづく
92(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 09:12:37.75 ID:AbOcHf9K(5/9) AAS
>>91 つづき
ここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう
>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１〜７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）
よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３〜５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）
では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；
95(3): １３２人目の素数さん [] 2015/10/18(日) 11:03:52.49 ID:kDiNTmvJ(2/3) AAS
>>91
＞しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
「点の集合が分離的でれば」というのは意味が分かりませんが、ハウスドルフの性質が使えるというのは間違いです。
たとえば複素数体上で有理点全体の集合を考えます。各有理点にどのような開近傍
を対応させても、これらの開近傍が互いに交わらないようには出来ません。なぜなら
任意の空でない開集合は無限個の有理点を含むからです。
154(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/25(日) 10:38:07.24 ID:ZH0WK04q(14/27) AAS
補足
>>91
>例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
>>136と>>145に関連するから、補足しておく
超越基底Sの二つの要素s1とs2を取る。超越基底だから、当然、s1≠s2と仮定できる。
ユークリッド位相は、ハウスドルフだから、s1とs2の周りに、重ならない小さな半径εの開球を設定できると考えたんだ
高校生にも分かるように解説すると、d=|s1−s2|として、ε＜d/2とすれば良いから
で、εは全部同じじゃなくても良いので、それぞれ隣り合う、s1,s2,s3があったら、順次調整していけると
そう考えたんだ
でも上手く行かない。なぜでしょうか？
「なぜか」を考えるのも、なかなか面白いんだ（指摘されても、すぐにはなぜか分からなかった）
でも、>>95の反例で納得した
そして、>>129みたく、数直線上の開球を、複素平面全体に散らすことを考えた。がダメみたい。それが、問題>>136
で、超越基底Sにせずに、実数体Rそのものにすると、問題は易しくなる気がする（＾＾
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