[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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83(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:11:26.59 ID:ZRSuwEga(13/16) AAS
>>82 つづき
１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。
（３〜５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）
84(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:18:03.59 ID:ZRSuwEga(14/16) AAS
>>83 補足
１３．従って、複素数体の閉集合全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
追伸
１３（つまり結論）を書いておかないと、試験答案なら減点される可能性ありだろう。自明だが省略はしない方が良い
”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
87: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 00:07:50.80 ID:AbOcHf9K(1/9) AAS
>>76＆>>63
どうも。スレ主です。
ID:wNioddJ2 くんか
>>58を見てくれたか？
>>70は、ID:wNioddJ2 くんを叩くつもりで書いた。サンドバッグ。>>81-84のパンチはどうかね？
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ>>58って
89(1): 564 [] 2015/10/18(日) 00:28:04.19 ID:kDiNTmvJ(1/3) AAS
>>83
3から5の議論がおかしいです。
ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
90(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 08:07:27.42 ID:AbOcHf9K(3/9) AAS
>>89
564さん、どうも。スレ主です。
>3から5の議論がおかしいです。
>ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
>ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
君はいつも鋭いね。レベル高い。おそらく私よりも
が、（３〜５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）>>83
と注釈を付けたろう？
>>81に引用したように、「実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている」
というより、実数の集合の性質から、ハウスドルフという性質が抽出され抽象化されたんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
つづく
92(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 09:12:37.75 ID:AbOcHf9K(5/9) AAS
>>91 つづき
ここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう
>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１〜７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）
よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３〜５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）
では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；
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