[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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77(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:59:42.91 ID:ZRSuwEga(8/16) AAS
>>74 つづき
では、>>61"証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答"へ
おそらく、こちらが出題意図だと思う
ハメル基のかわりに、超越基底をそのまま使う方法
78(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 21:24:01.65 ID:ZRSuwEga(9/16) AAS
>>77 つづき
で
１．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
２．あとは、>>73と類似
３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから）
５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから）
６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照）
７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから）
８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させているように見えるかも知れない
が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる
つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの
もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ
まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾
215(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/31(土) 14:30:17.67 ID:e+POqdBI(13/27) AAS
>>207
このスレでも、私スレ主は１問正解をしているよ。、>73と>>77-79だ
ID:a5sAw5TAさんは、ハメル基底を使った見事な解答だった>>66-69が、私のは、それとは違う別解だよ
それはそうと、ID:GtgS+prUくん
>>201や、元の問題>>92を考えてみてくれないか？
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