[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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68(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/17(土) 19:03:40.57 ID:a5sAw5TA(4/5) AAS
定理1：A＝{ q∈Q^N｜有限個のiを除いてq_i＝0 } と置くと、Aは可算無限集合である。すなわち、card(A)＝card(N)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であるから、証明は省略する。■
定理2：Hは非可算無限集合である。
証明：Hが高々可算無限集合だとして矛盾を導けばよい。まず、Hが可算無限集合の場合に矛盾を導く。
H＝{ t_i｜i＝1,2,… } と番号づけて表示しておく。定理1のAを取り、写像 f：R → A を以下のように作る：
まず、任意の x∈R に対して、
x＝Σ[i＝1〜∞] q_i * t_i (q_i∈Q, 有限個のiを除いてq_i＝0)
という表示が一意的に取れる。そこで、f(x)：＝(q_1, q_2, …) ∈ A として f(x) を定義する。
この f は単射であることが簡単に示せる。よって、card(R)≦card(A)＝card(N) となり、矛盾する。
以下、Hは有限集合だとしてよいが、この場合も同じような議論で矛盾が出る。以上より、Hは非可算無限集合である。■
定理3：card(H)＝card(R)である。
証明：定理2と連続体仮説を使えば即座に従うので、連続体仮説を仮定する場合は証明が終わっている。
以下では、連続体仮説を使わずZFCの範囲で証明する。
Hの空でない有限部分集合全体の集合族を I と置く。定理2により、Hは無限集合であるから、Iも無限集合である。
写像 f：R−{0} → I×∪[n＝1〜∞]Q^n を以下のように作る：まず、任意のx∈R−{0}に対して、
有限個のHの元 h_1＜h_2＜…＜h_m と、同じ個数の q_1,q_2,…,q_m∈Q−{0} が存在して
x＝Σ[i＝1〜m] q_i * h_i と表せる。また、このときの「 m 」と「h_1＜h_2＜…＜h_m」と「q_1,q_2,…,q_m」は
xごとに一意的に決まる。そこで、f(x)：＝( { h_i｜1≦i≦m }, (q_1, q_2, …, q_m) ) ∈ I×∪[n＝1〜∞]Q^n と定義する。
こうして定義した f は単射であることが言える。よって、card(R)＝card(R−{0})≦card(I×∪[n＝1〜∞]Q^n) となる。
ここで、補題4により card(I×∪[n＝1〜∞]Q^n)＝card(I×N) となる。また、補題2により card(I×N)＝card(I) となる。
さらに、補題3により card(I)＝card(H) となる。以上を繋げて、card(R)≦card(H) となる。
一方で、H⊂R よりcard(H)≦card(R)である。以上より、card(H)＝card(R)である。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
71(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 19:36:47.17 ID:ZRSuwEga(4/16) AAS
>>65-69
ID:a5sAw5TA さん、どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いね
本格的な証明ですな〜
私らには、こういうのは書けない
完敗！ 脱帽です！（＾＾；
85: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:46:24.51 ID:ZRSuwEga(15/16) AAS
>>73 補足
”実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える”のところ
超越基底Sは、連続無限の濃度を有するの証明は、>>66-68の証明を見ると、アナロジーとして
実数体Rを有理数体Q上のベクトル空間と見たときの基底を1つとってHとする(ハメル基底)。
↓
実数体Rを、有理数体Q上の代数拡大体Ａのベクトル空間と見たときの超越基底を1つとってＳとする(超越基底)
が、本当かもね
代数拡大体Ａなら、超越基底による拡大体がＲになるけど
有理数体Q上の超越基底による拡大体には、代数的数は含まれないから
まあ、「超越基底Sは、連続無限の濃度を有する」を基礎論として認めてしまえば、有理数体Qで考えても同じだが
215(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/31(土) 14:30:17.67 ID:e+POqdBI(13/27) AAS
>>207
このスレでも、私スレ主は１問正解をしているよ。、>73と>>77-79だ
ID:a5sAw5TAさんは、ハメル基底を使った見事な解答だった>>66-69が、私のは、それとは違う別解だよ
それはそうと、ID:GtgS+prUくん
>>201や、元の問題>>92を考えてみてくれないか？
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