[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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652(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/27(金) 16:10:28.56 ID:qRNBmtTR(3/5) AAS
>>556
(>>651の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S) だから、
a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、m_i に対して何れも或る、
m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点
{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) となる。
Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各 a_i∈X に対して定まるような、
a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数 f_{m_i}
のすべてが定数ではないとして、各 a_i∈X に対して定まる a_i を表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して両辺を整理すると、
有限個のSの点 y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なることが分かり、
とりわけ y∈S ではなくなり、y∈S に反し矛盾が生じる。従って、或る a_i∈X が存在して、
a_i に対して定まるような、a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
における f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Q であって、従って a_i∈Q。
しかし、a_i はQ上代数的だから、定義から、a_i は a_i∈S を満たさず、矛盾する。
従って、Q(S) は完全集合であり、Q(S) の任意の点は集積点である。 (第５段終了)
653(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/27(金) 16:12:15.66 ID:qRNBmtTR(4/5) AAS
>>556
(>>652の続き)
[第６段](Q(S)は零集合)：Q(S) の外測度を m(Q(S)) とする。m(Q(S))＞0 とする。定義から、実数体Rは
体 Q(S) の代数拡大体である。体 Q(S) 上超越的なRの点は存在しないから、R＼Q(S) は体 Q(S) 上代数的な
実数全体の集合である。ここに、体 Q(S) 上代数的な実数kを適当に取る。K＝(Q(S))(k) とおく。すると、
Kは体の拡大 R/Q(S) の中間体で、Rの真部分集合である。体Kの外測度を m(K)、実数体Rの外測度を m(R) とする。
すると、m(Q(S))＞0 と仮定したから、Q(S)⊂K⊂R から 0＜m(K)≦m(R)＝+∞。実数体Rの有理数体Q上の
超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。Kの内測度を m'(K) とする。
Kは上下に非有界でコンパクトではないから、定義から、m'(K)＝+∞。従って、m(K)＜m'(K)。
Kが可測なための必要十分は m(K)＝m'(K) だから、中間体Kは非可測である。しかし、これはKが可測なことに反し、
矛盾する。従って、m(Q(S))＝0 で、体 Q(S) は零集合である。
[第７段](S、Q(S)は非可算零集合)：超越基底Sの外測度を m(S) とすると、S⊂Q(S) から、m(S)≦m(Q(S))＝0
から、m(S)＝m(Q(S))＝0。また、card(S)＝card(Q(S))＝c。従って、S、Q(S)は非可算零集合である。
Sは上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底としていたから、
元の超越基底S、元の体Q(S)も、どちらも非可算零集合である。
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