[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
650(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/27(金) 16:04:59.09 ID:qRNBmtTR(1/5) AAS
>>556
[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
から、RのQ上一次独立な部分集合 {√2} に対し、或る a∈Q が存在して、{a√2}∈L となる
から、L≠Φ。Lは集合の包含関係⊂について、半順序集合である。Aを添数集合とする。
{I_α|α∈A} をLの全順序部分集合とする。ここに、各α∈Aに対して I_α は開区間I(ε)では
ない。S＝∪_{α∈A}(I_α) とする。n∈N＼{0} とする。x_1,…,x_n∈S とする。すると、
x_1,…,x_n をすべて含むような或る S_α(α∈A) が存在して、S_α はRのQ上一次独立な
部分集合だから、{x_1,…,x_n} はQ上一次独立である。自然数 n∈N＼{0}、Sの元 x_1,…,x_n は
任意でよいから、任意の α∈A について、SはI_αのすべての点を含むLの元であり、I_α⊂S で
ある。また、SはQ上一次独立な集合である。そして、任意の α∈A に対して、S_α⊂S だから、
Sは {S_α|α∈A} のLにおける上界である。従って、Zornの補題から、LつまりL(ε)には極大元が
1個以上存在する。その極大元を H(ε) とする。H(ε) は開区間 I(ε) に含まれる、
実数体Rの有理数体Q上の一次独立な部分集合全体の族だから、H(ε) はハメル基底の
定義の条件を確かにすべて満たす。従って、H(ε) は開区間 I(ε) に含まれるような、
ハメル基底である。ε＞0は任意でよいから、任意のε＞0に対して、開区間 I(ε) に含まれる、
ハメル基底 H(ε) が存在する。
651(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/27(金) 16:06:37.42 ID:qRNBmtTR(2/5) AAS
>>556
(>>650の続き)
[第２段](上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sの存在性)：定義から、任意のε＞0に対して、
開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底に含まれる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底S(ε)は
存在し、上下に有界である。従って、上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sは存在する。
ここに、Sを上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底と仮定しても一般性は失わない。
定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第３段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、Q(S) 上代数的な
Rの点が存在する。従って、或る、Q(S) 上代数的なRの点aが存在して、aは Q(S) には属さないRの点である。
従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第４段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。
また、card(S)＝card(R)＝c。従って、ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(Q(S))＝card(R)＝c。
[第５段](Q(S)は完全集合)：体 Q(S) を完全集合ではないとする。すると、Q(S) の或る点 y∈Q(S) が
存在して、yは Q(S) の孤立点となる。また、実数直線R上で、有理直線Qは稠密で、任意の r∈Q について、
rはQの触点でrの閉包は {r} だから、yは有理数ではない。従って、y∈S。Rは Q(S) 上代数拡大体だから、
yは体 Q(S) 上代数的である。従って、yの R/Q(S) への最小多項式の次数をnとすれば、
何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、
あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。
そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
654: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/27(金) 17:39:05.66 ID:qRNBmtTR(5/5) AAS
>>556
あ、>>650の最初に
>任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
を書くの忘れた。第１段はその後に続く。
656: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/27(金) 23:16:14.31 ID:Hwv6wXgh(1/4) AAS
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつも、力作ありがとう
ところで、>>650の[第１段]って、何を証明しようとしているのか、不明確なんだよね。良い線言っている気もするし、とんちんかんを言っている気もするし
命題の定立がね、不明確。証明読まないと、どういう命題を証明しようとしているのか、何を証明したのか、分からんような書き方はどうだかねー
普通の論文や教科書は
＜命題（or 定理ないし補題）＞xxxxxxxx
＜証明＞xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
というスタイルだろ？ そう書いて貰えないかね？
[第１段]に限らず・・・
659(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/27(金) 23:40:40.30 ID:Hwv6wXgh(4/4) AAS
>>568
>私が終わったら、スレ主に証明してもらう。
ギブアップするなら、いつでも言ってくれ
おれの証明は難しくないよ
ほとんど高校数学で終わりだよ
>>562
>そもそもスレ主は証明できるのか？
証明出来ているつもり
>スレ主の方針はどういうものだ？書いてくれ。
おっちゃんの>>650 [第１段]に近い気がする。もっとも、 [第１段]が何を意味するのか、いまいちすっきりしないがね（＾＾；
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.139s*