[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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600(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/25(水) 14:36:17.58 ID:DdIKV3mC(9/12) AAS
>>599
どうやらお前は本格的に背理法を理解してないらしい。
しかたがない。>>494で言わんとしていることを、以下で丁寧に書き下してやろう。
そこまで丁寧に書かなければ、お前には伝わらないようだからな。
以下の文章を、落ち着いてよく読んでみなさい↓
カントール集合 S ⊂ [0,1] を取る。card(S)＝c であることが知られている。
特に、Sは非可算零集合である。今の段階では背理法は使っていないことに注意されたい。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第３段] card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。R'は非有界だったから、Sは非有界となる。しかし、S⊂[0,1]であるから、
Sは有界である。よって、ここで矛盾となる。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
にも関わらず、「Sは有界かつ非有界」という矛盾が出たのである。なぜか？
601(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/25(水) 14:44:40.13 ID:WuoQ5wU/(14/22) AAS
>>600
カントール集合って非有界なのか？
直観的には有界集合に見えるんだけど。
602(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/25(水) 14:49:07.63 ID:DdIKV3mC(10/12) AAS
>>601
第３段で R' ＝ S という等式が導かれていることに注目されたい。
R' は非有界だったから、これと R' ＝ S より、S も非有界となるのだ。
このことはちゃんと
＞R'＝S。R'は非有界だったから、Sは非有界となる。
と明示してあるだろう。「落ち着いてよく読んでみなさい」と言っただろうが。
・・・その一方で、カントール集合は もちろん「有界」である。
つまり、>>600の議論では、有界であるはずのカントール集合が非有界となってしまう。
なぜこのような事態が起こっているのか？
603(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/25(水) 14:51:27.79 ID:WuoQ5wU/(15/22) AAS
>>600
あ、カントール集合の場合が、背理法を使わなくても同様な論法が
成り立って同じ矛盾が得られて、例外があることになるのか。
605(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/25(水) 14:58:12.87 ID:DdIKV3mC(11/12) AAS
>>603
そのとおり。>>494で言わんとしていたことは、まさにそういうこと。
スレ主ですら理解していたこと。
で、背理法を使ってないのに なぜ矛盾が出たのかというと、
「>>600の論法はどこかが間違っているから」
ということ。結局、>>493はどこかが間違ってるということ。
そして、今日の>>579-584も全然ダメ。
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