[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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6(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/11(日) 20:37:37.94 ID:RDXEzJ3O(6/6) AAS
>>3 つづき
ここで、564の解答があるから、>>617は別に難しくない
というか、・・・、まああんまり書くとネタばらしだから、控えておこう・・
7(25): 564 [sage] 2015/10/11(日) 21:06:49.09 ID:7jDSbCoQ(1) AAS
>>6
617の問題は簡単過ぎましたか？
でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。
似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
38(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 15:51:24.51 ID:WXWksHFO(1/4) AAS
>>6、>>12
お久しぶりです。おっちゃんです。
>ここで、564の解答があるから、617は別に難しくない
617を解くのに超越基底はいらない。それどころか、体も殆どいらない。
本当に簡単な複素解析、加法群の定義、集合論の知識があれば十分かな。
617を解くにあたっては、連続体仮説の問題も関係ない。
で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
何か凄いバトルやっていたようだな。
39(5): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:21:40.27 ID:WXWksHFO(2/4) AAS
>>6、>>12
例えば、617は
複素数体Cの「加法」部分群全体の集合をAとする。実数直線Rは複素平面Cの空でない真部分集合である。
また、通常の加減乗除の演算について、実数直線Rは加法群として扱うことが出来、同様に、複素平面C
は加法群として扱うことが出来る。従って、R、Cを両方共に、通常の加減乗除の演算について加法群と
見なすと、通常の加法+の演算について、Rは加法群Cの部分群である。従って、A≠Φである。ここで、
Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、
Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z)
とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素
平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から
なるような集合である。Cの加法部分群Gは任意であるから、GをAの中で走らせると、Aの濃度は、平面C上の
点0を中心とする、半径1の半円の、平面Cの実軸を含むような平面Cの上半分にあたる部分における点全体
からなるような、平面Cの部分集合における、半円の弧C'からC'の1つの端点-1を除いて出来る部分集合
C'-{-1}の濃度に等しい。つまり、Aの濃度は、平面Cの上半平面における点0を中心とする半径1の半円の弧の
部分集合に、平面Cの点1を加えた曲線C'-{-1}の濃度に等しい。ここで、偏角の不定性に注意すると、C'-{-1}
は、C'-{-1}＝{e^{θi}∈C|0≦θ＜π}と表せる。また、区間[0,π)からC'-{-1}への全単射が存在する。従って、
C'-{-1}の濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。C'-{-1}の濃度はAの濃度に等しいから、Aの濃度は区間[0,π)の
濃度に等しい。区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
というように解けますな。まあ、もしかしたら、解くにあたって細部の論理の飛躍があるかも知れんが、
大体の方針は上のようになる。
40: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:29:45.53 ID:WXWksHFO(3/4) AAS
>>6、>>12
>>39の
>すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。
の部分は、正確には
>すると、任意の「z∈G」に対してRe(z),Im(z)∈R。
だな。まあ、一般に任意の複素数zに対してRe(z),Im(z)∈Rで、
このあたりは何ともいえんが。
42: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:52:16.48 ID:WXWksHFO(4/4) AAS
>>6、>>12
あっ、あと>>39では問題を解くときに一応最後に肝心な？
>区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
>区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
のあとに
>従って、Aの濃度は2^{ℵ_0}である。
という文章を付け加えるのを忘れた。こういうのは、直前に
>Aの濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。
と書いてあるから、文章の流れとしてはなくてもいいとは思うが。
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